x এর কোন মানের জন্য f(x)=int_0^x(t-3)/(t^2+7)dt ন্যূনতম হবে?

Explanation:

Another Explanation (5):

ফাংশনটির ন্যূনতম মান নির্ণয়

\( f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-3}{t^2+7} dt \) ন্যূনতম মান বের করার জন্য, প্রথমে \( f(x) \) এর প্রথম অন্তরকলজ (first derivative) বের করতে হবে এবং সেটাকে 0 এর সমান ধরতে হবে। \( f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{t-3}{t^2+7} dt \) লাইবনিজ বিধি (Leibniz rule) অনুসারে, \( f'(x) = \frac{x-3}{x^2+7} \) এখন, \( f'(x) = 0 \) হলে, \( \frac{x-3}{x^2+7} = 0 \) \( \implies x-3 = 0 \) \( \implies x = 3 \) এখন দেখতে হবে \( x = 3 \) বিন্দুতে \( f(x) \) এর মান সর্বনিম্ন কিনা। এর জন্য দ্বিতীয় অন্তরকলজ (second derivative) বের করতে হবে। \( f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{x^2+7} \right) \) ভাগফল বিধি (Quotient rule) অনুসারে, \( f''(x) = \frac{(x^2+7)(1) - (x-3)(2x)}{(x^2+7)^2} \) \( = \frac{x^2+7 - 2x^2 + 6x}{(x^2+7)^2} \) \( = \frac{-x^2 + 6x + 7}{(x^2+7)^2} \) এখন \( x = 3 \) বিন্দুতে \( f''(x) \) এর মান বের করি: \( f''(3) = \frac{-(3)^2 + 6(3) + 7}{((3)^2+7)^2} \) \( = \frac{-9 + 18 + 7}{(9+7)^2} \) \( = \frac{16}{16^2} = \frac{1}{16} \) যেহেতু \( f''(3) = \frac{1}{16} > 0 \), তাই \( x = 3 \) বিন্দুতে \( f(x) \) এর মান সর্বনিম্ন হবে। 🎉 সুতরাং, \( x = 3 \) এর জন্য \( f(x) \) ন্যূনতম হবে।