\( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয়

\( x = e^t \cos t \) এবং \( y = e^t \sin t \)

প্রথম ধাপ: \( \frac{dx}{dt} \) নির্ণয়

\( x = e^t \cos t \)

\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t \cos t) \)

গুণের সূত্র ব্যবহার করে, \( \frac{d}{dt}(uv) = u\frac{dv}{dt} + v\frac{du}{dt} \)

\( \frac{dx}{dt} = e^t \frac{d}{dt}(\cos t) + \cos t \frac{d}{dt}(e^t) \)

\( \frac{dx}{dt} = e^t (-\sin t) + \cos t (e^t) \)

\( \frac{dx}{dt} = e^t (\cos t - \sin t) \) 😊

দ্বিতীয় ধাপ: \( \frac{dy}{dt} \) নির্ণয়

\( y = e^t \sin t \)

\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t \sin t) \)

গুণের সূত্র ব্যবহার করে,

\( \frac{dy}{dt} = e^t \frac{d}{dt}(\sin t) + \sin t \frac{d}{dt}(e^t) \)

\( \frac{dy}{dt} = e^t (\cos t) + \sin t (e^t) \)

\( \frac{dy}{dt} = e^t (\sin t + \cos t) \) 🎉

তৃতীয় ধাপ: \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয়

আমরা জানি, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)

অতএব, \( \frac{dy}{dx} = \frac{e^t (\sin t + \cos t)}{e^t (\cos t - \sin t)} \)

\( e^t \) উভয় থেকে বাদ দিয়ে পাই,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \) 🥳

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \)