p এর মান কত হলে,    px^2 + 3y = 1   পরাবৃত্তটি (±1,0) বিন্দু  দিয়ে অতিক্রম করবে? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( p \) এর মান কত হলে, \( px^2 + 3y = 1 \) পরাবৃত্তি (±1, 0) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে? সমাধান: প্রথমে দেওয়া পরাবৃত্তির সমীকরণ: \[ px^2 + 3y = 1 \] আমরা জানি যে, পরাবৃত্তিটি বিন্দু \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) দিয়ে অতিক্রম করবে। অর্থাৎ, এই বিন্দুগুলিকে সমীকরণে স্থানান্তর করলে সমান হবে। তাহলে, প্রথম বিন্দু: \( (1, 0) \) অতএব, \[ p(1)^2 + 3(0) = 1 \] \[ p + 0 = 1 \] \[ p = 1 \] দ্বিতীয় বিন্দু: \( (-1, 0) \) অতএব, \[ p(-1)^2 + 3(0) = 1 \] \[ p + 0 = 1 \] \[ p = 1 \] তাহলে, \( p \) এর মান হবে \( 1 \)। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, পরাবৃত্তি \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে। আমাদের লক্ষ্য হলো নির্ণয় করা, এমন \( p \) এর মান যেখানে এই বিন্দুগুলি পরাবৃত্তির ওপর দিয়ে অতিক্রম করবে। তাহলে, যদি পরাবৃত্তির সমীকরণে \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) বসাই: \[ p(\pm 1)^2 + 3(0) = 1 \] \[ p \times 1 + 0 = 1 \] \[ p = 1 \] তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করেছে যে, উত্তরটি "-2"। তাহলে কি অন্য কোন অর্থ থাকতে পারে? অন্যভাবে, যদি পরাবৃত্তির সমীকরণে \( y \) এর মান নির্ণয় করি: প্রতিটি বিন্দুর জন্য, \[ px^2 + 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1 - px^2}{3} \] এখন, \( y \) এর মান \( 0 \) হলে, \[ 0 = \frac{1 - px^2}{3} \] \[ 1 - px^2 = 0 \] \[ px^2 = 1 \] বিন্দুর জন্য \( x = \pm 1 \), তাহলে: \[ p \times (1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1 \] অথবা, \[ p \times (-1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1 \] আবার, \( y \) এর মান যদি \( 0 \) হয়, তাহলে পরাবৃত্তির ওপর দিয়ে অতিক্রমের জন্য, এই বিন্দুগুলির জন্য \( p = 1 \)। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত মান \( -2 \) কি সম্ভব? চলুন আমরা \( p = -2 \) ধরে দেখি: প্রতিটি বিন্দুর জন্য, \[ px^2 + 3y = 1 \] বসাই \( p = -2 \): \[ -2x^2 + 3y = 1 \] বিন্দু \( (1, 0) \): \[ -2(1)^2 + 3(0) = 1 \Rightarrow -2 + 0 = 1 \Rightarrow -2 \neq 1 \] অর্থাৎ, এই বিন্দু সমীকরণে সন্তুষ্ট নয়। তাহলে, হয়তো প্রশ্নের অর্থ অন্য। অন্যভাবে, পরাবৃত্তির সমীকরণকে মান অনুযায়ী রূপান্তর করি: প্রতিটি বিন্দু \( (\pm 1, 0) \) দিয়ে অতিক্রম করবে যদি সেটি পরাবৃত্তির রেখার উপর পড়ে। অতএব, \( y \) এর মান \( 0 \): \[ px^2 + 3(0) = 1 \Rightarrow px^2 = 1 \] এবং \( x = \pm 1 \): \[ p(1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1 \] অতএব, \( p = 1 \)। তবে, সম্ভবত এখানে অন্য কোন ধারনা বা গাণিতিক ধারণা থাকতে পারে। উপসংহার: প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, \( p \) এর মান হবে \(-2\)। তাহলে, চলুন \( p = -2 \) ধরে দেখি: \[ -2x^2 + 3y = 1 \] বিন্দু \( (1, 0) \): \[ -2(1)^2 + 0 = 1 \Rightarrow -2 \neq 1 \] অর্থাৎ, এই বিন্দুটি সমীকরণে পড়ে না। তাই, সম্ভবত প্রশ্নের উদ্দেশ্য হলো: পরাবৃত্তির সমীকরণে \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) বিন্দুগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে হলে, \( p \) এর মান কী হবে? যেহেতু, \[ px^2 + 3y = 1 \] \( y = 0 \), \( x = \pm 1 \): \[ p \times 1 + 0 = 1 \Rightarrow p = 1 \] অর্থাৎ, যে মানে আমরা দেখেছি, সেটি \( p = 1 \)। তবে, উত্তর হিসেবে উল্লেখিত "–2" সম্ভবত ভুল বা অন্য কোন প্রাসঙ্গিক ধারণা থাকতে পারে। তাই, মূল সমাধান: \[ \boxed{ p = 1 } \] **উপসংহার:** প্রশ্নে নির্দিষ্টভাবে \( p \) এর মান \( -2 \) হলে, \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে না। তবে, যদি প্রশ্নের উত্তর হিসেবে "–2" উল্লেখ করা হয়, তাহলে হয়তো অন্য কোন পরিস্থিতি বা ধরণে এটি প্রযোজ্য। সাধারণভাবে, \( p = 1 \) হলে, \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে পরাবৃত্তি অতিক্রম করবে।