y = x³ + 2x² + 4 বক্ররেখার (1, 7) বিন্দুতে—

1. স্পর্শকের ঢাল 7
2. স্পর্শকের সমীকরণ 7x - y + 5 = 0
3. অভিলম্বের সমীকরণ x + 7y = 50

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( y = x^3 + 2x^2 + 4 \) প্রথমে, বিন্দু \( (1, 7) \) এ স্পর্শকের ঢাল ও সমীকরণ নির্ণয় করি।

ধাপ ১: ডেরিভেটিভ (স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়)

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x \] বিন্দু \( (1,7) \) এ ঢাল: \[ m = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7 \] অতএব, স্পর্শকের ঢাল = 7, যা প্রশ্নের প্রথম দাবির সাথে মিলে যায়।

ধাপ ২: স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়

স্পর্শকের সমীকরণ: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 7 = 7(x - 1) \] \[ y - 7 = 7x - 7 \] \[ y = 7x \] প্রশ্নে উল্লেখ করা স্পর্শকের সমীকরণ: \( 7x - y + 5 = 0 \) এখানে, \[ 7x - y + 5 = 0 \Rightarrow y = 7x + 5 \] এটি মূল স্পর্শকের সমীকরণের সাথে মেলে না। অতএব, এটি ভুল।

ধাপ ৩: অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়

অভিলম্বের ঢাল একই হবে, অর্থাৎ 7। অভিলম্ব পয়েন্ট: \( (1,7) \) অভিলম্বের সমীকরণ: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 7 = 7(x - 1) \] \[ y = 7x \] প্রশ্নে উল্লেখ: \( x + 7y = 50 \) চেক করি যদি এই সরলরেখা অভিলম্বের সমীকরণের সাথে মিলে: \[ x + 7(7x) = 50 \] \[ x + 49x = 50 \] \[ 50x = 50 \] \[ x = 1 \] এবং, \[ y = 7(1) = 7 \] অর্থাৎ, এই রেখা \( (1,7) \) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অভিলম্বের ঢাল 7, তাই এটি অভিলম্বের সমীকরণ হতে পারে। সুতরাং, এই অভিলম্বের সমীকরণ সত্য। **সারাংশ:** - স্পর্শকের ঢাল: 7 ✅ - স্পর্শকের সমীকরণ: \( y = 7x \neq 7x + 5 \) → ভুল - অভিলম্বের সমীকরণ: \( x + 7y = 50 \) → সত্য উপসংহার: "i ও iii" সঠিক।

উত্তর:

i ও iii