y = ax (1 - x) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে ঢাল কত?

প্রশ্ন: \( y = ax(1 - x) \) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে ঢাল কত?

উত্তর: "a"

সমাধান:

প্রথমে, দইয়ের সমীকরণ থেকে ডেরিভেটিভ বের করি:
y = ax(1 - x)

dy/dx = d/dx [ax(1 - x)]
     = a * d/dx [x(1 - x)]

x(1 - x) এর ডেরিভেটিভ:
d/dx [x(1 - x)] = (1)(1 - x) + x(-1) = (1 - x) - x = 1 - 2x

অতএব,
dy/dx = a(1 - 2x)

মূলবিন্দুতে ঢাল নির্ণয় করতে, x = x₀ এ ডেরিভেটিভের মান:
d/dx at x = x₀ = a(1 - 2x₀)

মূলবিন্দুতে, সুরক্ষিতভাবে, ঢালটি হয়:
m = a(1 - 2x₀)

তবে, মূলবিন্দুতে, ডেরিভেটিভের মানটি সর্বত্র একই থাকে। মূলবিন্দুতে, x₀ এর মান নির্ণয় করতে, নীচের তথ্য ব্যবহার করি:

উপলব্ধ তথ্য অনুযায়ী, মূলবিন্দুতে ঢাল 'a'। 
অর্থাৎ, x₀ এর মান নির্ণয়:
a(1 - 2x₀) = a
→ 1 - 2x₀ = 1
→ 2x₀ = 0
→ x₀ = 0

অতএব, মূলবিন্দুটি হলো (0, 0), যেখানে ঢাল:
m = a(1 - 2*0) = a

উপসংহার:

অতএব, বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে ঢাল হলো a.