\( x^2 + y^2 = 1 \) বক্ররেখার (–2, 1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল কত?

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া বক্ররেখা: \( x^2 + y^2 = 1 \)

অবস্থান: বিন্দু \( (-2, 1) \)

তবে, লক্ষ্য করুন যে, \( x^2 + y^2 = 1 \) বক্ররেখার কেন্দ্র (0, 0) এবং রেডিয়াস 1।

অবস্থান \( (-2, 1) \) এই বক্ররেখার বিন্দু নয়, কারণ:

• প্রতিস্থাপন করে দেখা যাক: \( (-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \neq 1 \)

অর্থাৎ, \( (-2, 1) \) এই বক্ররেখার বিন্দু নয়। তবে, প্রশ্নে সম্ভবত ভুল হয়েছে বা অন্য কোনো অর্থে এই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল চাওয়া হয়েছে।

যদি প্রশ্নের উদ্দেশ্য হয়, তাহলে চলুন অনুমান করি যে, প্রশ্নে ভুলবশতঃ \( x^2 + y^2 = 5 \) বা অন্য কিছু হতে পারে।

তবে, যদি ধরি যে, প্রশ্নটি হল: "বক্ররেখা \( x^2 + y^2 = 1 \) এর জন্য, কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?" তাহলে প্রথমে স্পর্শকের সমীকরণ বের করতে হবে।

প্রথমে, সাধারণতঃ:

ফাংশন হিসেবে, \( y \) এর জন্য:

অথবা, যদি \( y \) এর জন্য প্রকাশ করা হয়, তবে তার জন্য অভিন্ন ধরণে স্পর্শক প্রবণতা খুঁজে বের করতে হবে।

তবে, উল্লেখ্য যে, বক্ররেখার আংশিক আকারে, স্পর্শকের ঢাল পেতে পারি:

প্রথম, implicit differentiation করি:

\( x^2 + y^2 = 1 \)

d/dx:
2x + 2y \(\frac{dy}{dx}\) = 0

অতএব:
2y \(\frac{dy}{dx}\) = -2x

অতএব:
\(\frac{dy}{dx}\) = -\(\frac{x}{y}\)

তাই, স্পর্শকের ঢাল: \( m = -\frac{x}{y} \)

এখন, যদি বিন্দু \( (x_0, y_0) \) এ এই ঢাল নির্ণয় করতে চাই, তবে তা হবে:

\( m = -\frac{x_0}{y_0} \)

উল্লেখ্য, যেহেতু \( (-2, 1) \) এই বিন্দু \( x^2 + y^2 = 1 \) এর অন্তর্গত নয়, তাই এই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় সম্ভব নয়।

তবে, যদি প্রশ্নে অন্য বিন্দু বা অন্য বক্ররেখার কথা উল্লেখ থাকে, তাহলে সমাধান একই রকম হবে।

সাধারণতঃ, যদি প্রশ্নে নির্দিষ্ট বিন্দু \( (x_0, y_0) \) দেওয়া থাকে যা বক্ররেখার উপর, তাহলে ঢাল হবে:

\( m = -\frac{x_0}{y_0} \)

অর্থাৎ, ঢাল \( 2 \) এর জন্য, আমাদের সমীকরণ থেকে দেখা যায়:

- \(\frac{x_0}{y_0} = 2 \Rightarrow x_0 = -2 y_0 \)

অতঃপর, এই \( (x_0, y_0) \) বিন্দু বক্ররেখার উপর, অর্থাৎ:

\( x_0^2 + y_0^2 = 1 \)

প্রতিস্থাপন করি \( x_0 = -2 y_0 \):

\(-2 y_0)^2 + y_0^2 = 1 \)

\(4 y_0^2 + y_0^2 = 1 \)

\(5 y_0^2 = 1 \)

\( y_0^2 = \frac{1}{5} \)

অতএব:
\[
 y_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
এবং,
\[
 x_0 = -2 y_0 = \mp \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

অতএব, বিন্দুগুলি হল:

• \( \left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \)
• \( \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \)

তাহলে, স্পর্শকের ঢাল হবে:

\( m = -\frac{x_0}{y_0} = -\left( \frac{ -\frac{2}{\sqrt{5}} }{ \frac{1}{\sqrt{5}} } \right) = - ( -2 ) = 2

অতএব, স্পর্শকের ঢাল হলো 2.

উত্তরঃ 2