λ এর মান কত হলে, y=λ(x-1)(x+2) বক্ররেখার x=1 বিন্দুতে স্পর্শক x অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করবে?

সমাধান:

প্রদত্ত বক্ররেখা:

\[ y = \lambda (x - 1)(x + 2) \]

প্রথমে, নির্দিষ্ট বিন্দু \( x = 1 \) এ বক্ররেখার টানাক্রমিক ধারা নির্ণয় করি।

প্রথমত, \( y \) এর ডেরিভেটিভ নি:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = \lambda \frac{d}{dx}[(x - 1)(x + 2)] \]

যেহেতু, \[ \frac{d}{dx}[(x - 1)(x + 2)] = (x - 1) \cdot 1 + (x + 2) \cdot 1 = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 \]

অতএব,

\[ y' = \lambda (2x + 1) \]

এখন, \( x = 1 \) এ ডেরিভেটিভের মান নির্ণয় করি:

\[ y'(1) = \lambda (2 \cdot 1 + 1) = \lambda (2 + 1) = 3\lambda \]

বক্ররেখার স্পর্শক রেখার ঢাল \( m \) হল:

\[ m = y'(1) = 3 \lambda \]

স্পর্শক এবং অক্ষের মধ্যে কোণ \( \theta = 60^\circ \)।

স্পর্শক রেখার ঢাল ও অক্ষের ঢাল (যা শুণ্য) এর মধ্যে কোণের সম্পর্ক:

\[ \tan \theta = |m| \]

তাই,

\[ \tan 60^\circ = |3 \lambda| \]

\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), সুতরাং:

\[ \sqrt{3} = 3 |\lambda| \]

অতএব,

\[ |\lambda| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

এখানে, \(\lambda\) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, তবে মূল মান হল:

\[ \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]

উত্তর:

\( \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}} \)