c এর মান কত হলে y=cx(1+x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক অক্ষের সাথে 30^o কোণ উৎপন্ন করবে?

প্রশ্ন:

c এর মান কত হলে y=cx(1+x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক অক্ষের সাথে 30^o কোণ উৎপন্ন করবে?

উত্তর:

\(y = cx(1+x)\) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে। এর মানে হলো, মূলবিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান \(tan(30^\circ)\) এর সমান হবে।

প্রথমে, আমরা \(y\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

\(y = cx(1+x) = cx + cx^2\)

\(\frac{dy}{dx} = c + 2cx\)

এখন, মূলবিন্দুতে (\(x=0\)), \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বের করি:

\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = c + 2c(0) = c\)

যেহেতু স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে, তাই:

\(c = \tan(30^\circ)\)

আমরা জানি, \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

সুতরাং, \(c = \frac{1}{\sqrt{3}}\) 🥳

অতএব, \(c\) এর মান \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে \(y=cx(1+x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করবে।