x²+y²−2x=0 বৃত্তের (1,−1) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি ?

Another Explanation (5): প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো: \[ x^2 + y^2 - 2x = 0 \] এটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] আমরা দেখতে পাচ্ছি: \[ x^2 - 2x + y^2 = 0 \] প্রথমে, \(x^2 - 2x\) অংশটি সম্পূর্ণ করে নিই: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] সুতরাং, মূল সমীকরণটি হয়: \[ (x - 1)^2 - 1 + y^2 = 0 \] অর্থাৎ, \[ (x - 1)^2 + y^2 = 1 \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র \((1,0)\) এবং রেডিয়াস \(r=1\)। --- এখন, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করতে চাই যেখানে স্পর্শক বিন্দু হলো \((1, -1)\)। চূড়ান্তভাবে, আমরা দেখতে চাই যে এই বিন্দুটি বৃত্তের উপর বা নয়। বৃত্তের উপর বা না-হলে স্পর্শক হতে পারে না। বৃত্তের সমীকরণে \(x=1\), \(y=-1\) বসিয়ে দেখি: \[ (1 - 1)^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1 \] যা সত্য, অর্থাৎ, \((1, -1)\) এই বিন্দুটি বৃত্তের উপর। --- স্পর্শকের সমীকরণ সাধারণত: \[ \text{সমীকরণ} = y = mx + c \] অথবা, সরাসরি স্পর্শকের সমীকরণ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ওই বিন্দুর দিকে অঙ্কন করে: বৃত্তের কেন্দ্র \((1,0)\) এবং স্পর্শক বিন্দু \((1,-1)\) এর মধ্যে সরল লাইনটি হলো: \[ x=1 \] এবং, এই লাইনের সাথে বৃত্তের স্পর্শক অংকনের জন্য, স্পর্শক সরাসরি \(x=1\) রেখার সমান্তরাল হবে। এখন, এই রেখা \((x=1)\) এর জন্য, বৃত্তের টানাপোড়েন (tangent) সমীকরণ হবে: প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণে \(x=1\) বসাই: \[ (1 - 1)^2 + y^2 = 1 \] \[ 0 + y^2 = 1 \] \[ y = \pm 1 \] অর্থাৎ, স্পর্শক রেখা \(x=1\) এর জন্য, স্পর্শক বিন্দুগুলি \((1,1)\) এবং \((1,-1)\)। আমরা স্পর্শক বিন্দু \((1,-1)\) এর জন্য স্পর্শকের সমীকরণ জানি \(x=1\) রেখা। --- তাই, নির্দিষ্টভাবে, এই বিন্দুতে স্পর্শক সমীকরণ হলো: \[ \boxed{ y + 1 = 0 } \] অর্থাৎ, **উত্তর: \(y + 1 = 0\)**।