y=mx+c রেখাটি x²+y²=0 বৃত্ত কে স্পর্শ করার শর্ত কী?

প্রশ্নঃ y = mx + c রেখাটি x² + y² = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত কী?

উত্তর: "সবকটি"

সমাধান:

প্রথমে, রেখাটি ও বৃত্তের সমীকরণ ব্যবহার করি।

রেখার সমীকরণ: \( y = mx + c \)

বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 = 0 \)

রেখার সমীকরণকে বৃত্তের সমীকরণে বসাই:

\( x^2 + (mx + c)^2 = 0 \)

বিশ্লেষণে:

\( x^2 + m^2 x^2 + 2mcx + c^2 = 0 \)

\( (1 + m^2) x^2 + 2mc x + c^2 = 0 \)

এটি একটি দ্বিতীয় ধাপের সমীকরণ \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর মতো:

\( a = 1 + m^2 \), \( b = 2mc \), \( c = c^2 \)

একটি রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করলে, এই সমীকরণের একমাত্র সমাধান থাকবে, অর্থাৎ ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য হবে:

\( D = b^2 - 4ac = 0 \)

এখানে,

\( D = (2mc)^2 - 4(1 + m^2) c^2 = 0 \)

\( 4m^2 c^2 - 4(1 + m^2) c^2 = 0 \)

\( 4 c^2 [m^2 - (1 + m^2)] = 0 \)

\( 4 c^2 (m^2 - 1 - m^2) = 0 \)

\( 4 c^2 (-1) = 0 \)

\( -4 c^2 = 0 \)

\( c = 0 \)

\( x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0 \)

শর্ত: \( c = 0 \), অর্থাৎ রেখাটি \( y = mx \) এর মত হবে।

অর্থাৎ, রেখাটি \( y = mx \) এই রকম, যেখানে \( c = 0 \)।

অতএব, উত্তরঃ "সবকটি", কারণ সব রেখা যার \( c=0 \) এবং \( y=mx \) এই রকম, বৃত্তকে স্পর্শ করে।