Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তের সমীকরণ এবং স্পর্শকের শর্ত 🤔
দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0\) এবং সরলরেখার সমীকরণ: \(3x + by - 1 = 0\)।
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,
\(2g = -8 \Rightarrow g = -4\)
\(2f = -2 \Rightarrow f = -1\)
\(c = 4\)
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \(C = (-g, -f) = (4, 1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13}\)।
স্পর্শকের শর্তানুযায়ী, কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
কেন্দ্র (4, 1) থেকে \(3x + by - 1 = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d = \frac{|3(4) + b(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + b^2}} = \frac{|12 + b - 1|}{\sqrt{9 + b^2}} = \frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}}\)
যেহেতু রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \(d = r\) হবে।
\(\frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}} = \sqrt{13}\)
উভয় দিকে বর্গ করে পাই,
\(\frac{(11 + b)^2}{9 + b^2} = 13\)
\((11 + b)^2 = 13(9 + b^2)\)
\(121 + 22b + b^2 = 117 + 13b^2\)
\(12b^2 - 22b - 4 = 0\)
\(6b^2 - 11b - 2 = 0\)
এখন, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি:
\(6b^2 - 12b + b - 2 = 0\) (মধ্যপদ বিভাজন)
\(6b(b - 2) + 1(b - 2) = 0\)
\((6b + 1)(b - 2) = 0\)
সুতরাং, \(b = 2\) অথবা \(b = -\frac{1}{6}\)
যদি \(b = -\frac{1}{6}\) হয়, তবে স্পর্শকের সমীকরণ \(3x - \frac{1}{6}y - 1 = 0\) বা \(18x - y - 6 = 0\)।
এখানে, \(b = 2\) হলে, স্পর্শকের সমীকরণ \(3x + 2y - 1 = 0\)।
অতএব, \(b = 2\) হলে \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে। 🎉
```
