(1, 1) বিন্দু হতে 2x² + 2y² - x + 3y + 1 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ 2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0 \] **ধাপ ১: সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করা:** প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ 2x^2 - x + 2y^2 + 3y + 1 = 0 \] অথবা, \[ 2(x^2 - \frac{x}{2}) + 2(y^2 + \frac{3y}{2}) + 1 = 0 \] প্রতিটি অংশের জন্য পরিপূরক সম্পূরক যোগ করি: - \(x^2 - \frac{x}{2}\): সম্পূরক = \(\left(\frac{1/4}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}\) - \(y^2 + \frac{3y}{2}\): সম্পূরক = \(\left(\frac{3/4}{2}\right)^2 = \left(\frac{3/8}\right)^2 = \frac{9}{64}\) এখন, \[ 2\left[x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{64}\right] + 2\left[y^2 + \frac{3y}{2} + \frac{9}{64}\right] + 1 - 2 \times \frac{1}{64} - 2 \times \frac{9}{64} = 0 \] যেখানে, \[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{3}{4}\right)^2 + 1 - \frac{2}{64} - \frac{18}{64} = 0 \] সংখ্যাগুলি যোগ করি: \[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{3}{4}\right)^2 + 1 - \frac{20}{64} = 0 \] \[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{3}{4}\right)^2 + 1 - \frac{5}{16} = 0 \] \[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{5}{16} - 1 = -\frac{11}{16} \] এখানে, ডান পাশ নেতিবাচক। এর মানে হলো, এই সমীকরণটি আসলে কোনো বাস্তব বৃত্তের সমীকরণ নয়। তবে, যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে, বিন্দু (1,1) থেকে বৃত্তে স্পর্শক সরাসরি আঁকা হয়েছে, তাহলে আসুন, এই বিন্দুতে স্পর্শক লাইন অঙ্কন করে দেখি। **ধাপ ২: বিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্রে লাইন অঙ্কন:** প্রথমে, বৃত্তের কেন্দ্ৰ নির্ণয় করি। উপরে, সমীকরণটি সম্পূর্ণ করার মাধ্যমে, আমরা দেখতে পাচ্ছি: \[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{3}{4}\right)^2 = -\frac{11}{16} \] এটি বাস্তব বৃত্তের সমীকরণ নয় কারণ ডান পাশে নেতিবাচক। তবে, প্রশ্নে দেওয়া তথ্য অনুযায়ী, বিন্দু (1,1) থেকে বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে। **ধাপ ৩: সরাসরি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:** অপেক্ষা করুন, আসুন প্রথমে বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় করি: আমরা সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করি: \[ 2x^2 - x + 2y^2 + 3y + 1 = 0 \] অর্থাৎ, \[ x^2 - \frac{x}{2} + y^2 + \frac{3y}{2} = -\frac{1}{2} \] পরিপূরক যোগ করি: - \(x^2 - \frac{x}{2}\): সম্পূরক = \(\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\) - \(y^2 + \frac{3y}{2}\): সম্পূরক = \(\left(\frac{3/4}{1}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\) অতএব, \[ x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} + y^2 + \frac{3y}{2} + \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{9}{16} \] সংখ্যাগুলি যোগ করি: \[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = -\frac{8}{16} + \frac{10}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \] বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য: \[ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{8} \] অর্থাৎ, কেন্দ্র \(C = \left(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}\right)\), এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) **ধাপ ৪: বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব নির্ণয়:** বিন্দু \(P = (1,1)\) দূরত্ব: \[ d = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (1 + \frac{3}{4})^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \frac{\sqrt{58}}{4} \] **ধাপ ৫: স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:** বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক লাইনটি কেন্দ্রে থেকে বিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত হয়। স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(L\) হবে: \[ L = \sqrt{d^2 - r^2} \] এখানে, \[ d^2 = \left(\frac{\sqrt{58}}{4}\right)^2 = \frac{58}{16} = \frac{29}{8} \] \[ r^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8} \] অতএব, \[ L = \sqrt{\frac{29}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{28}{8}} = \sqrt{\frac{7}{2}} \] **অতএব, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হলো:** \[ \boxed{\sqrt{\frac{7}{2}}} \] --- **উত্তর: \(\sqrt{\frac{7}{2}}\)**