(1,-1) বিন্দু থেকে 2x² + 2y² - x + 3y + 1 = 0 বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\(2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0\)

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করার জন্য, প্রদত্ত সমীকরণকে 2 দিয়ে ভাগ করি:

\(x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y + \frac{1}{2} = 0\)

সুতরাং, \(g = -\frac{1}{4}\), \(f = \frac{3}{4}\), এবং \(c = \frac{1}{2}\)।

বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f) = (\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})\)।

এখন, \( (1, -1) \) বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দু থেকে \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c} \)।

এখানে, \( (x_1, y_1) = (1, -1) \)।

সুতরাং, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:

\(\sqrt{(1)^2 + (-1)^2 - \frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2}}\)

\(= \sqrt{1 + 1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}}\)

\(= \sqrt{2 - \frac{3}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{4 - 3}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\) 🥳

অতএব, \( (1, -1) \) বিন্দু থেকে \( 2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0 \) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)।