5x–12y=a রেখাটি x²+y² –4y= 0 বৃত্তকে স্পর্শ করে ; a এর মান কোনটি ?

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\( x^2 + y^2 - 4y = 0 \)

বৃত্তের কেন্দ্র \( (0, 2) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{0^2 + 2^2 - 0} = 2 \) ।

আবার, প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:

\( 5x - 12y = a \)

বা, \( 5x - 12y - a = 0 \)

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

সুতরাং,

\( \left| \frac{5(0) - 12(2) - a}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = 2 \)

\( \left| \frac{-24 - a}{\sqrt{25 + 144}} \right| = 2 \)

\( \left| \frac{-24 - a}{\sqrt{169}} \right| = 2 \)

\( \left| \frac{-24 - a}{13} \right| = 2 \)

\( |-24 - a| = 26 \)

সুতরাং, \( -24 - a = \pm 26 \)

Case 1: \( -24 - a = 26 \)

\( a = -24 - 26 = -50 \)

Case 2: \( -24 - a = -26 \)

\( a = -24 + 26 = 2 \)

সুতরাং, \( a \) এর মান \( -50 \) অথবা \( 2 \) হতে পারে। 🥳