(-1, -3) বিন্দু হতে অঙ্কিত x²​ + y²​ - 2x - y - 7 = 0​​​​​​ বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে: \[ x^2 + y^2 - 2x - y - 7 = 0 \] এটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] অতএব, সমীকরণকে পুনঃলিখুন: \[ x^2 - 2x + y^2 - y = 7 \] সম্পূর্ণ বৃত্তের কেন্দ্রে ও ব্যাসের ধাপ: 1. \(x\) এর জন্য: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] 2. \(y\) এর জন্য: \[ y^2 - y = \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \] অতএব, সমীকরণটি হবে: \[ (x - 1)^2 - 1 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} = 7 \] সাধারণীকরণ: \[ (x - 1)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 = 7 + 1 + \frac{1}{4} = 8 + \frac{1}{4} = \frac{32}{4} + \frac{1}{4} = \frac{33}{4} \] অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র: \[ C = (1, \frac{1}{2}) \] বৃত্তের ধ্রুবক: \[ r = \sqrt{\frac{33}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{2} \] এখন, বিন্দুটি দেওয়া হয়েছে: \[ P = (-1, -3) \] বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব: \[ d = \sqrt{( -1 - 1)^2 + (-3 - \frac{1}{2})^2} \] গণনা করুন: \[ d = \sqrt{ (-2)^2 + \left( -3 - \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ 4 + \left( -\frac{6}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ 4 + \left( -\frac{7}{2} \right)^2 } \] অর্থাৎ: \[ d = \sqrt{ 4 + \frac{49}{4} } = \sqrt{ \frac{16}{4} + \frac{49}{4} } = \sqrt{ \frac{65}{4} } = \frac{\sqrt{65}}{2} \] বৃত্তের স্পর্শক রেখার দৈর্ঘ্য = \(2 \times\) দূরত্ব থেকে বিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত (যেহেতু স্পর্শক রেখা কেন্দ্রের থেকে বিন্দুর দূরত্বের সমান নয়, বরং স্পর্শক রৈখিকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে): স্পর্শক রেখার দৈর্ঘ্য: \[ L = 2 \times \sqrt{d^2 - r^2} \] অতএব: \[ L = 2 \times \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{65}}{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{33}}{2} \right)^2 } = 2 \times \sqrt{ \frac{65}{4} - \frac{33}{4} } = 2 \times \sqrt{ \frac{32}{4} } = 2 \times \sqrt{8} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \] কিন্তু, প্রশ্নে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত, সেটি মূলতঃ কোন দুটি স্পর্শক রেখার মধ্যে দূরত্বের সমান হয়। স্পর্শক রেখার দৈর্ঘ্য: \[ \boxed{2 \sqrt{2}} \] **অতএব, উত্তর: \(\boxed{2 \sqrt{2}}\).**