x + y = 4 রেখাটি x²​ + y²​ - 12x - 8y + 34 = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি? ​​​​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x + y = 4\) রেখাটি \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 34 = 0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি? উত্তর: \((3, 1)\) সমাধান: প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ x^2 + y^2 - 12x - 8y + 34 = 0 \] বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধেক ব্যাসার্ধের মান নির্ণয় করি: সম্পূর্ণ করে দেওয়া: \[ x^2 - 12x + y^2 - 8y = -34 \] সম্পূর্ণ করে: \[ x^2 - 12x + 36 + y^2 - 8y + 16 = -34 + 36 + 16 \] \[ (x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 18 \] অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \(C: (6, 4)\) এবং its ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)। পরবর্তী, রেখাটির সমীকরণ: \[ x + y = 4 \] এটি \(y = 4 - x\) রূপে লেখা যায়। রেখাটির রেখার সমীকরণে \(ax + by + c = 0\) রূপে: \[ x + y - 4 = 0 \] প্রথমত, এই রেখা ও বৃত্তের মধ্যে স্পর্শের জন্য, তাদের দূরত্ব সমান হবে ব্যাসার্ধের: \[ \text{Distance} = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] যেখানে, \((x_0, y_0)\) হবে স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(a=1\), \(b=1\), \(c=-4\)। সুতরাং, \[ \frac{|1 \cdot x_0 + 1 \cdot y_0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = r = 3\sqrt{2} \] চলুন, \(x_0, y_0\) কে রেখার সমীকরণে রাখি: \[ y_0 = 4 - x_0 \] অতএব, \[ \frac{|x_0 + (4 - x_0) - 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ \frac{|4 - 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ \frac{0}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] এটি সম্ভব নয়, কারণ এখানে শূন্যের সমান হয় না। তবে, স্পর্শ বিন্দুর জন্য, রেখার ও বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব অবশ্যই ব্যাসার্ধের সমান হবে। দূরত্ব নির্ণয় করি: \[ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] এবং, \[ d = r \] এবং, কেন্দ্র \((6, 4)\)। অর্থাৎ, \[ \frac{|1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 - 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ \frac{|6 + 4 - 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ \frac{|6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] \[ 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \] এখানে, কেন্দ্রের থেকে রেখার দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের, অর্থাৎ, রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। ফলে, রেখার সঙ্গে বৃত্তের স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x_0, y_0) \) সেই বিন্দু, যেখানে রেখা ও বৃত্তের মধ্যে দূরত্ব সমান এবং রেখা বৃত্তের স্পর্শ বিন্দুতে যায়। অতএব, রেখার সমীকরণ: \[ x + y = 4 \] এবং, এই রেখার সাথে বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু হবে সেই বিন্দু, যেখানে রেখার সমীকরণ ও বৃত্তের সমীকরণের একসাথে সমাধান। প্রতিস্থাপিত করি \( y = 4 - x \) বৃত্তের সমীকরণে: \[ (x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 18 \] প্রতিস্থাপন করি: \[ (x - 6)^2 + ( (4 - x) - 4)^2 = 18 \] \[ (x - 6)^2 + (-x)^2 = 18 \] \[ (x - 6)^2 + x^2 = 18 \] বিস্তৃত করি: \[ x^2 - 12x + 36 + x^2 = 18 \] \[ 2x^2 - 12x + 36 = 18 \] \[ 2x^2 - 12x + 18 = 0 \] \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] সমাধান করি: \[ (x - 3)^2 = 0 \] \[ x = 3 \] অতএব, \( y = 4 - x = 4 - 3 = 1 \) সুতরাং, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক: \[ \boxed{(3, 1)} \] **উত্তর:** \(\boxed{(3, 1)}\)