বৃত্তের কেন্দ্র (1,2) মূলবিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত একটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য:

• বৃত্তের কেন্দ্র \( C(1,2) \)
• স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( l = 2 \)
• স্পর্শক বৃত্তের উপর অঙ্কিত

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \)। স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত তথ্য:

স্পর্শক \( P(x,y) \) এ থাকলে, বৃত্তের কেন্দ্র \( C(1,2) \) থেকে \( P \)-এর দূরত্ব \( r \):

এবং, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সম্পর্ক:

অর্থাৎ,

আরো, স্পর্শক রেখা বৃত্তের উপর অঙ্কিত, তাই স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে সরলরেখার ঢাল \( m \) হবে:

স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( l = 2 \), কিন্তু স্পর্শক রেখার দ্বারা বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শ বিন্দু থাকতে পারে। তবে, স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত:

স্পর্শক ও কেন্দ্রের দূরত্ব:

এবং, স্পর্শক রেখার সাথে বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু সম্পর্কিত, স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে সরলরেখার ঢাল \( m \) হবে, যেখানে স্পর্শের ধরণ অনুসারে, স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব ও স্পর্শের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত:

যেহেতু, স্পর্শক রেখাটি বৃত্তটি স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( r \), এবং স্পর্শের দৈর্ঘ্য \( 2 \) হবে।

প্রশ্নে বলে, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( 2 \) একক।

সুতরাং, স্পর্শক ও কেন্দ্রের দূরত্ব \( r \) এর মানে হবে, কারণ স্পর্শক ও কেন্দ্রের মধ্যে সরলরেখার দূরত্ব ও স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত।

প্রমাণ:

ধরি, স্পর্শক \( P \) থেকে বৃত্তের কেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব \( r \), এবং স্পর্শক রেখার ধরন অনুযায়ী, স্পর্শক \( P \) থেকে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হতে পারে।

তাহলে, যদি \( P(x,y) \) হয়, তবে স্পর্শক \( P \) থেকে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব হবে \( |x| \)।

যেহেতু, স্পর্শক রেখা বৃত্তের উপর অঙ্কিত, তাহলে এটি স্পর্শ করে বৃত্তের উপর এক বিন্দু, এবং স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 2।

প্রতিপাদ্য অনুযায়ী, যদি স্পর্শক \( P \) থেকে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব \( |x| \) হয়, তাহলে, যোগ্যতা অনুযায়ী, \[ |x| = r \] এবং, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব \( d = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} = r \) হয়।

উপসংহার: যদি বৃত্তটি \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে সেটির কেন্দ্র \( (r, y) \) বা \( (-r, y) \) বিন্দুতে থাকবে।

যেহেতু, কেন্দ্র \( (1,2) \), তাহলে, স্পর্শক \( P \) এর জন্য, \( x \)-অক্ষের দূরত্ব \( |x| = r \), এবং \( d = r \)।

তাহলে, যদি \( (x,y) \) হয় স্পর্শক বিন্দু, তাহলে: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} = r \] এবং, \[ |x| = r \] যেহেতু, কেন্দ্র \( (1,2) \), তাহলে এই সমীকরণ সমাধান করলে, দেখা যাবে যে বৃত্তটি \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে।

উপসংহার:

অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র \( (1,2) \) থেকে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব \( 1 \), এবং স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 2 হলে, বৃত্তটি সত্যিই \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে।

উত্তর:

বৃত্তটি \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে।