\( x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \) বৃত্তটি \( x^2 + y^2 = a^2 \) বৃত্তকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে \( a \) এর মান কত?

Explanation: Solve: \(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \text{ বৃত্তের কেন্দ্র } (-1, 1) \\ \text{ব্যাসার্ধ, } r_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2 - 1} = 1 \\ x^2 + y^2 = a^2 \text{ বৃত্তের কেন্দ্র } (0, 0) \text{ এবং ব্যাসার্ধ, } r_2 = a \\ \) বৃত্তের কেন্দ্রগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব, \(C_1C_2 = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2} \\ \) ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী পার্থক্য, \(r_2 - r_1 = a - 1 \, [: r_2 > r_1] \\ \) যেহেতু ১ম বৃত্তটি ২য় বৃত্তিকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করছে, সেহেতু ২য়টির ভিতর থাকবে ১ম বৃত্তটি। অর্থাৎ ২য় বৃত্তির ব্যাসার্ধ ১মটির তুলনায় বড় হবে। \( \therefore r_2 - r_1 = C_1C_2 \implies a - 1 = \sqrt{2} \implies a = \sqrt{2} + 1 \\ \text{Ans. (A)}\)

Another Explanation (5): bài giải: \( x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \) বৃত্তটিকে লেখা যায়: \( (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1 \) \( (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 \) সুতরাং, এই বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1(-1, 1) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = 1 \). \( x^2 + y^2 = a^2 \) বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2(0, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_2 = a \). যেহেতু বৃত্ত দুটি অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান হবে। \( |C_1C_2| = |r_2 - r_1| \) \( \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = |a - 1| \) \( \sqrt{1 + 1} = |a - 1| \) \( \sqrt{2} = |a - 1| \) \( a - 1 = \pm \sqrt{2} \) \( a = 1 \pm \sqrt{2} \) যেহেতু \( a \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই \( a > 0 \) হতে হবে। যদি \( a = 1 - \sqrt{2} \) হয়, তবে \( a \) ঋণাত্মক হবে, যা গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং, \( a = 1 + \sqrt{2} \). 🎉