3x+ky-1=0 রেখাটি x²+y²+8x-2y+4=0 বৃত্তকে স্পর্শ করে , k এর মান কত?

বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 + 8x - 2y + 4 = 0 \)

এই বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\( 2g = 8 \), \( 2f = -2 \), \( c = 4 \)

সুতরাং, \( g = 4 \), \( f = -1 \), \( c = 4 \)

কেন্দ্র \( (-g, -f) = (-4, 1) \)

ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} \)

রেখার সমীকরণ: \( 3x + ky - 1 = 0 \)

বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো, কেন্দ্র থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।

কেন্দ্র \( (-4, 1) \) থেকে \( 3x + ky - 1 = 0 \) রেখার লম্ব দূরত্ব:

\( d = \frac{|3(-4) + k(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + k^2}} = \frac{|-12 + k - 1|}{\sqrt{9 + k^2}} = \frac{|k - 13|}{\sqrt{9 + k^2}} \)

যেহেতু রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, \( d = r \)

\( \frac{|k - 13|}{\sqrt{9 + k^2}} = \sqrt{13} \)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\( \frac{(k - 13)^2}{9 + k^2} = 13 \)

\( (k - 13)^2 = 13(9 + k^2) \)

\( k^2 - 26k + 169 = 117 + 13k^2 \)

\( 12k^2 + 26k - 52 = 0 \)

\( 6k^2 + 13k - 26 = 0 \)

এখন k এর মান নির্ণয়ের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি।

\( k = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26)}}{2 \cdot 6} \)

\( k = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 624}}{12} \)

\( k = \frac{-13 \pm \sqrt{793}}{12} \)

সুতরাং, k এর মান \( \frac{-13 + \sqrt{793}}{12} \) অথবা \( \frac{-13 - \sqrt{793}}{12} \) হতে পারে।

অতএব, k এর মান হবে: \( \frac{-13 \pm \sqrt{793}}{12} \) 🎯