(1, 1) বিন্দু হতে \( x^2 + y^2 + 2(x + y) = 0 \) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: বিন্দু \( (1, 1) \) থেকে বৃত্তের উপর স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে, যেখানে বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[ x^2 + y^2 + 2(x + y) = 0 \]

প্রথমে, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

বৃত্তের সমীকরণকে সাধারণ রূপে লেখি:

\[ x^2 + 2x + y^2 + 2y = 0 \]

সম্পূর্ণ বর্গের মাধ্যমে রূপান্তর করি:

\[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 0 + 1 + 1 \]

\[ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 \]

অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র হলো \( C(-1, -1) \) এবং ব্যাসার্ধ হলো:

\[ r = \sqrt{2} \]

এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো বিন্দু \( (1, 1) \) থেকে বৃত্তের উপর স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা।

প্রথমে, বিন্দু \( (1, 1) \) থেকে কেন্দ্র \( (-1, -1) \) পর্যন্ত দূরত্ব হিসাব করি:

\[ d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব \( d \), এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \)।

বৃত্তের উপর থেকে বিন্দু \( (1, 1) \) পর্যন্ত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (d_t) হলো:

\[ d_t = \sqrt{d^2 - r^2} \]

এখানে,

\[ d^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \]

\[ r^2 = 2 \]

অতএব,

\[ d_t = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6} \]

অতএব, বিন্দু \( (1, 1) \) থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হলো:

\[ \boxed{\sqrt{6}} \]