x² + y² + 8x + 2ky + c = 0 বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে k এবং c এর মান কত?

বৃত্তের সমীকরণ এবং অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তাবলী

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(2g = 8 \Rightarrow g = 4\)

\(2f = 2k \Rightarrow f = k\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (-4, -k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4^2 + k^2 - c} = \sqrt{16 + k^2 - c} \)

যেহেতু বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্রের ভুজ এবং কোটির পরম মান ব্যাসার্ধের সমান হবে।

অতএব, \( |-4| = |-k| = r \)

\(\Rightarrow 4 = |k| = \sqrt{16 + k^2 - c}\)

প্রথম শর্ত থেকে পাই, \( |k| = 4 \Rightarrow k = \pm 4 \)

দ্বিতীয় শর্ত থেকে পাই,

\( 4 = \sqrt{16 + k^2 - c} \)

বর্গ করে পাই,

\( 16 = 16 + k^2 - c \)

\( \Rightarrow k^2 = c \)

যেহেতু \( k = \pm 4 \), তাই \( c = (\pm 4)^2 = 16 \)

সুতরাং, \( k = \pm 4 \) এবং \( c = 16 \)। 🎉

ফলাফল:

\( k = \pm 4, c = 16 \)