int_(-pi/4)^0 tan(π/4+x)dxএর মান কত?

আমরা \(\int_{-\pi/4}^0 \tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right) dx\) এর মান নির্ণয় করব।

আমরা জানি, \(\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}\)

সুতরাং, \(\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan x}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\) 😮

তাহলে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়,

\(\int_{-\pi/4}^0 \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} dx\)

আমরা জানি, \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

সুতরাং, \(\int_{-\pi/4}^0 \frac{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int_{-\pi/4}^0 \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} dx\) 🤔

এখন, ধরি \(u = \cos x - \sin x\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = -\sin x - \cos x\)।

সুতরাং, \(du = -(\sin x + \cos x) dx\)।

তাহলে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে, \(\int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C\)

\(= -\ln|\cos x - \sin x| + C\) 🤓

এখন, আমরা লিমিটগুলো বসিয়ে পাই,

\(\left[-\ln|\cos x - \sin x|\right]_{-\pi/4}^0 = -\ln|\cos 0 - \sin 0| - \left(-\ln\left|\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right|\right)\)

\(= -\ln|1 - 0| + \ln\left|\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right|\)

\(= -\ln|1| + \ln\left|\frac{2}{\sqrt{2}}\right| = 0 + \ln|\sqrt{2}|\) 🙌

\(= \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln 2\) 🎉

সুতরাং, \(\int_{-\pi/4}^0 \tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right) dx = \frac{1}{2} \ln 2\)