এককের জটিল ঘন মূল দ্বয় x ও y হলে -

1. x²=y
2. x² +y²=i²
3. x²y²=i⁴

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে বলা হয়েছে, এককের জটিল ঘনমূল দ্বয় \(x\) ও \(y\)। অর্থাৎ, \[ x = re^{i\theta}, \quad y = se^{i\phi} \] এবং, \[ |x| = |y| = 1 \] অর্থাৎ, \[ r = s = 1 \] তাহলে, \[ x = e^{i\theta}, \quad y = e^{i\phi} \] ---

প্রথম শর্ত: \(x^2 = y\)

\[ x^2 = e^{i2\theta} = y = e^{i\phi} \Rightarrow \phi = 2\theta \] এবং, \[ |x^2| = |y| \Rightarrow 1 = 1 \] অর্থাৎ, এটি সম্ভব। **অর্থাৎ, (i) সঠিক।** ---

দ্বিতীয় শর্ত: \(x^2 + y^2 = i^2\)

\[ x^2 + y^2 = e^{i2\theta} + e^{i2\phi} \] এবং, \[ i^2 = -1 \] তাই, \[ e^{i2\theta} + e^{i2\phi} = -1 \] এখন, \[ e^{i2\theta} = \cos 2\theta + i \sin 2\theta \] এবং, \[ e^{i2\phi} = \cos 2\phi + i \sin 2\phi \] সুতরাং, \[ \cos 2\theta + \cos 2\phi + i (\sin 2\theta + \sin 2\phi) = -1 + 0i \] অর্থাৎ, বাস্তব অংশ: \[ \cos 2\theta + \cos 2\phi = -1 \] এবং কল্পনামূলক অংশ: \[ \sin 2\theta + \sin 2\phi = 0 \] --- **সমাধান:** \[ \sin 2\theta + \sin 2\phi = 0 \] \[ 2 \sin \left(\frac{2\theta + 2\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{2\theta - 2\phi}{2}\right) = 0 \] \[ \Rightarrow \sin (\theta + \phi) \cos (\theta - \phi) = 0 \] অর্থাৎ, \[ \sin (\theta + \phi) = 0 \quad \text{অথবা} \quad \cos (\theta - \phi) = 0 \] --- **অর্থাৎ:** 1. \(\sin (\theta + \phi) = 0 \Rightarrow \theta + \phi = n\pi\) 2. \(\cos (\theta - \phi) = 0 \Rightarrow \theta - \phi = \frac{\pi}{2} + m\pi\) এবং, বাস্তব অংশের সমীকরণ: \[ \cos 2\theta + \cos 2\phi = -1 \] \[ 2 \cos (\theta + \phi) \cos (\theta - \phi) = -1 \] --- ### **উপসংহার:** - যদি \(\sin (\theta + \phi) = 0\), তাহলে \(\cos (\theta + \phi) = \pm 1\) - যদি \(\cos (\theta - \phi) = 0\), তাহলে \(\cos (\theta - \phi) = 0\) সুতরাং, এই দুইটি পরিস্থিতি বাস্তবসম্মত এবং সঠিক হতে পারে। ফলে, দ্বিতীয় শর্ত সম্ভব। **অর্থাৎ, (ii) সঠিক।** ---

তৃতীয় শর্ত: \(x^2 y^2 = i^4\)

\[ x^2 y^2 = e^{i2\theta} \cdot e^{i2\phi} = e^{i(2\theta + 2\phi)} \] এবং, \[ i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 \] অর্থাৎ, \[ e^{i(2\theta + 2\phi)} = 1 \Rightarrow 2(\theta + \phi) = 2k\pi \Rightarrow \theta + \phi = k\pi \] অর্থাৎ, \(\sin (\theta + \phi) = 0\) এবং \(\cos (\theta + \phi) = \pm 1\)। এটা প্রথম শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। **অর্থাৎ, (iii) সঠিক।** ---

সারাংশ:

সব শর্তই সম্ভব এবং সঠিক, অর্থাৎ, উত্তর: "i, ii ও iii" ---

চূড়ান্ত উত্তর:

উত্তর: i, ii ও iii