একটি নিরেট সিলিন্ডারের ভর M এবং ব্যাসার্ধ R। জ্যামিতিক অক্ষের সাপেক্ষে এর জড়তার ভ্রামক কত? 

নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক নির্ণয়

একটি নিরেট সিলিন্ডারের ভর \(M\) এবং ব্যাসার্ধ \(R\)। এর জ্যামিতিক অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করা হলো:

ব্যাখ্যা:

সিলিন্ডারটিকে অসংখ্য ছোট ছোট চাকতি (disk) হিসেবে বিবেচনা করা যায় যাদের কেন্দ্র সিলিন্ডারের অক্ষের উপর অবস্থিত। একটি চাকতির ভর যদি \(dm\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) হয়, তবে ঐ চাকতির জন্য জড়তার ভ্রামক হবে:

\[dI = \frac{1}{2} r^2 dm\]

যেহেতু সিলিন্ডারটি নিরেট, তাই এর ঘনত্ব \(ρ\) ধ্রুবক। সুতরাং,

\[ρ = \frac{M}{V} = \frac{M}{πR^2h}\]

এখানে, \(V\) হলো সিলিন্ডারের আয়তন এবং \(h\) হলো উচ্চতা।

এখন, \(dm\) কে লেখা যায়:

\[dm = ρdV = ρ(πr^2 dx)\]

এখানে \(dx\) হলো চাকতির পুরুত্ব।

সুতরাং,

\[dI = \frac{1}{2} r^2 (ρπr^2 dx) = \frac{1}{2} ρπr^4 dx\]

সম্পূর্ণ সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক পেতে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে:

\[I = \int dI = \int_0^R \frac{1}{2} ρπr^4 dx \]

যেহেতু আমরা অক্ষের সাপেক্ষে বের করছি তাই ইন্টিগ্রেশন \(r\) এর সাপেক্ষে হবে। \(dm = ρ 2πr dr h\), সুতরাং,

\[I = \int_0^R \frac{1}{2} r^2 (ρ 2πr h dr) = πρh \int_0^R r^3 dr \]

\[I = πρh \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = πρh \frac{R^4}{4}\]

আমরা জানি,

\[ρ = \frac{M}{πR^2h}\]

সুতরাং,

\[I = π \frac{M}{πR^2h} h \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2 \]

অতএব, নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক \( \frac{1}{2}MR^2 \)। 🎉

উত্তর:

\[I = \frac{1}{2} MR^2\]