(3, 0) এবং (4, 1) বিন্দুদ্বয় দিয়া অতিক্রমকারী বৃত্তের কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত হলে বৃত্তটির সমীকরণ -

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় 🧐

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র \( (0, k) \) [যেহেতু কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত] এবং বৃত্তের উপরস্থ দুইটি বিন্দু \( A(3, 0) \) ও \( B(4, 1) \)।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে \( A \) ও \( B \) বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে। অর্থাৎ, \( OA = OB \) হবে। 🤔

\( OA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - k)^2} = \sqrt{9 + k^2} \) 🤓

\( OB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - k)^2} = \sqrt{16 + (1 - k)^2} \) 🤩

যেহেতু \( OA = OB \), তাই \( OA^2 = OB^2 \) হবে। সুতরাং,

\( 9 + k^2 = 16 + (1 - k)^2 \)

\( \Rightarrow 9 + k^2 = 16 + 1 - 2k + k^2 \)

\( \Rightarrow 9 = 17 - 2k \)

\( \Rightarrow 2k = 17 - 9 \)

\( \Rightarrow 2k = 8 \)

\( \Rightarrow k = 4 \) 🎉

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \( (0, 4) \)।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r = OA = \sqrt{9 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 🥳

বৃত্তের সমীকরণ: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), যেখানে কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)।

\( \Rightarrow (x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 \)

\( \Rightarrow x^2 + y^2 - 8y + 16 = 25 \)

\( \Rightarrow x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0 \) 🥰

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0 \)।