নিচের কোন বৃত্তটি x²+ y² = 2ax এবং x²+y² = 2by বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র bx-ay = 2ab রেখার উপর অবস্থিত? 

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্ত দুটির সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 = 2ax \qquad \cdots (1) \] \[ x^2 + y^2 = 2by \qquad \cdots (2) \] বৃত্ত (1) ও (2) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এমন বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 - 2ax + \lambda (x^2 + y^2 - 2by) = 0 \] \[ (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2ax - 2\lambda by = 0 \] \[ x^2 + y^2 - \frac{2a}{1+\lambda}x - \frac{2\lambda b}{1+\lambda}y = 0 \qquad \cdots (3) \] বৃত্ত (3) এর কেন্দ্র \( \left( \frac{a}{1+\lambda}, \frac{\lambda b}{1+\lambda} \right) \) প্রশ্নমতে, কেন্দ্রটি \( bx - ay = 2ab \) রেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং, \[ b \left( \frac{a}{1+\lambda} \right) - a \left( \frac{\lambda b}{1+\lambda} \right) = 2ab \] \[ \frac{ab}{1+\lambda} - \frac{a\lambda b}{1+\lambda} = 2ab \] \[ ab - a\lambda b = 2ab(1+\lambda) \] \[ 1 - \lambda = 2(1+\lambda) \] \[ 1 - \lambda = 2 + 2\lambda \] \[ -1 = 3\lambda \] \[ \lambda = -\frac{1}{3} \] এখন, \(\lambda\) এর মান সমীকরণ (3) এ বসিয়ে পাই, \[ x^2 + y^2 - \frac{2a}{1-\frac{1}{3}}x - \frac{2(-\frac{1}{3})b}{1-\frac{1}{3}}y = 0 \] \[ x^2 + y^2 - \frac{2a}{\frac{2}{3}}x + \frac{\frac{2}{3}b}{\frac{2}{3}}y = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 3ax + by = 0 \] অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 - 3ax + by = 0 \) 🥳।