(-2, 3) বিন্দুতে কেন্দ্র এবং y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: (-2, 3) বিন্দুতে কেন্দ্র এবং y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ কোনটি? সমাধান: ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \(\ (h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\)। বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] প্রথমত, কারণ বৃত্তের কেন্দ্র \((-2, 3)\), অতএব, \[ h = -2,\quad k = 3 \] তাহলে, \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 \] দ্বিতীয়ত, যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ y-অক্ষের সঙ্গে এটির একমাত্র স্পর্শ বিন্দু রয়েছে। y-অক্ষের সমীকরণ হলো: \[ x = 0 \] এবং যেহেতু y-অক্ষ স্পর্শ করে, তাহলে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দূরত্ব (অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ \(r\)) হবে কেন্দ্রের x-সংখ্যার মানের সাথে দূরত্ব। কারণ, কেন্দ্রের x-সংখ্যা \(-2\), তাই: \[ r = |h| = |-2| = 2 \] অর্থাৎ, \[ r = 2 \] তাহলে, বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 \] এই সমীকরণকে সরাসরি প্রকাশ করলে: \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4 \] উভয় পাশে 4 যোগ করি: \[ x^2 + 4x + y^2 - 6y + (4 + 9) = 4 \] অর্থাৎ, \[ x^2 + 4x + y^2 - 6y + 13 = 4 \] অতএব, \[ x^2 + 4x + y^2 - 6y + 9 = 0 \] তাই, বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ \boxed{x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0} \]