X অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কেন্দ্র \( 5x-7y+1=0 \) সরলরেখার উপর অবস্থিত এমন বৃত্তের সমীকরণ হবে-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: X অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কেন্দ্র \( 5x - 7y + 1 = 0 \) সরলরেখার উপর অবস্থিত এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। সমাধান: ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং এর ব্যাসার্ধ \( r \)। **ধাপ ১:** প্রথমত, যেহেতু বৃত্তটি X অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে: \[ \text{X অক্ষের সাথে স্পর্শের জন্য, কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব সমান হবে ব্যাসার্ধের:} \] \[ |k| = r \] (কারণ, X অক্ষের সঙ্গে স্পর্শের জন্য কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হতে হবে।) **ধাপ ২:** বৃত্তটি পয়েন্ট \( (4,0) \) এ স্পর্শ করে। অতএব, \[ \text{দূরত্ব কেন্দ্র থেকে পয়েন্টের } = r \] অর্থাৎ, \[ \sqrt{(h - 4)^2 + (k - 0)^2} = r \] এবং, \[ r = |k| \] অতএব, \[ \sqrt{(h - 4)^2 + k^2} = |k| \] উভয় পাশে স্কোয়ার করি: \[ (h - 4)^2 + k^2 = k^2 \] অতএব, \[ (h - 4)^2 = 0 \] অর্থাৎ, \[ h = 4 \] **ধাপ ৩:** এখন, কেন্দ্রের x-অক্ষের মান \( h = 4 \)। এবং, কেন্দ্রের y-অক্ষের মান \( k \), যেখানে \( r = |k| \). **ধাপ ৪:** বৃত্তের কেন্দ্র \( (4, k) \) সরলরেখা \( 5x - 7y + 1 = 0 \) উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, \[ \text{দূরত্ব} \text{ from } (4, k) \text{ to line } 5x - 7y + 1 = 0 \text{ হবে } 0 \] কিন্তু, যেহেতু কেন্দ্র সরলরেখার উপর অবস্থান করছে, তাই, \[ \text{দূরত্ব} = 0 \] দূরত্ব সূত্র: \[ \text{দূরত্ব} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] এখানে, \[ A = 5, \quad B = -7, \quad C = 1 \] নিয়ম অনুসারে, \[ \frac{|5 \times 4 + (-7) \times k + 1|}{\sqrt{5^2 + (-7)^2}} = 0 \] অর্থ, \[ |20 - 7k + 1| = 0 \] অতএব, \[ 21 - 7k = 0 \] অর্থাৎ, \[ 7k = 21 \Rightarrow k = 3 \] এবং, \[ r = |k| = 3 \] **ধাপ ৫:** সুতরাং, কেন্দ্র হলো \( (4, 3) \), এবং ব্যাসার্ধ \( r = 3 \)। **ধাপ ৬:** বৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] স্থানে মান বসানো: \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9 \] প্রশ্নের উত্তর হিসেবে এটি সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0 \] **সর্বশেষ উত্তর:** \[ \boxed{x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0} \]