একটি বৃত্তের কেন্দ্র x+y-2 =0 রেখার উপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি মূলবিন্দু ও (2,1) বিন্দু দিয়ে গমন করে, বৃত্তের স???ীকরণ কোনটি?

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় 🧐

দেয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র \(x + y - 2 = 0\) সরলরেখার উপর অবস্থিত। 🥳

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \)। যেহেতু কেন্দ্রটি \(x + y - 2 = 0\) রেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং,

\(h + k - 2 = 0 \implies k = 2 - h\) 😇

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, 2-h) \) ।

বৃত্তটি মূলবিন্দু \( (0, 0) \) এবং \( (2, 1) \) বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং, কেন্দ্র থেকে এই বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হবে। 🤩

বৃত্তের সমীকরণ: \( (x - h)^2 + (y - (2-h))^2 = r^2 \)

যেহেতু বৃত্তটি \( (0, 0) \) বিন্দুগামী, \( h^2 + (2-h)^2 = r^2 \) ... (1)

আবার, বৃত্তটি \( (2, 1) \) বিন্দুগামী, \( (2 - h)^2 + (1 - (2-h))^2 = r^2 \)

\(\implies (2 - h)^2 + (h - 1)^2 = r^2 \) ... (2)

(1) এবং (2) নং সমীকরণ থেকে পাই, 🧐

\( h^2 + (2-h)^2 = (2 - h)^2 + (h - 1)^2 \)

\(\implies h^2 = (h - 1)^2 \)

\(\implies h^2 = h^2 - 2h + 1 \)

\(\implies 2h = 1 \)

\(\implies h = \frac{1}{2} \) 🤩

সুতরাং, \( k = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \) ।

এখন, \( r^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \) 😍

বৃত্তের সমীকরণ: \( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5}{2} \)

\(\implies x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 3y + \frac{9}{4} = \frac{5}{2} \)

\(\implies x^2 + y^2 - x - 3y + \frac{10}{4} = \frac{10}{4} \)

\(\implies x^2 + y^2 - x - 3y = 0 \) 🥳

সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 - x - 3y = 0 \) ।