একটি বৃত্ত (-1,-1) এবং (3,2) বিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র \( x+2y+3=0 \) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ-

প্রদানকৃত তথ্য:

• দুটি বিন্দু: \((-1, -1)\) ও \((3, 2)\)
• বৃত্তের কেন্দ্র রেখার উপর: রেখা \(x + 2y + 3 = 0\)

ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \(\left(h, k\right)\) এবং এর রেডিয়াস \(r\)।

সুতরাং, কেন্দ্র রেখার উপর:

\[ h + 2k + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad h = -2k - 3 \]

এখন, বৃত্তের কেন্দ্র ও দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান (বৃত্তের রেডিয়াসের সমান):

\[ r^2 = (h + 1)^2 + (k + 1)^2 = (h - 3)^2 + (k - 2)^2 \]

প্রথম, এই দুই দূরত্বের বর্গ সমান করি:

\[
(h + 1)^2 + (k + 1)^2 = (h - 3)^2 + (k - 2)^2
\]

বিজ্ঞাপন করি \(h = -2k - 3\):

\[
(-2k - 3 + 1)^2 + (k + 1)^2 = (-2k - 3 - 3)^2 + (k - 2)^2
\]

সরলীকরণ করি:

\[
(-2k - 2)^2 + (k + 1)^2 = (-2k - 6)^2 + (k - 2)^2
\]

বর্গের মান গণনা করি:

\[
(4k^2 + 8k + 4) + (k^2 + 2k + 1) = (4k^2 + 24k + 36) + (k^2 - 4k + 4)
\]

অপসারণ করি ও সমীকরণ সাজাই:

\[
4k^2 + 8k + 4 + k^2 + 2k + 1 = 4k^2 + 24k + 36 + k^2 - 4k + 4
\]
\[
(4k^2 + k^2) + (8k + 2k) + (4 + 1) = (4k^2 + k^2) + (24k - 4k) + (36 + 4)
\]
\[
5k^2 + 10k + 5 = 5k^2 + 20k + 40
\]

দুই পাশে থেকে সমান করি:

\[
5k^2 + 10k + 5 = 5k^2 + 20k + 40
\]
\[
0 + 0 + 0 = 10k + 35
\]
\[
10k = -35 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2}
\]

এখন, \(h = -2k - 3\):
\[
h = -2 \times \left(-\frac{7}{2}\right) - 3 = 7 - 3 = 4
\]

সুতরাং, কেন্দ্র \(\left(h, k\right) = \left(4, -\frac{7}{2}\right)\) বা \(\left(4, -3.5\right)\)


এখন, রেডিয়াস \(r\) গণনা করি:
\[
r^2 = (h + 1)^2 + (k + 1)^2
\]
\[
= (4 + 1)^2 + \left(-\frac{7}{2} + 1\right)^2
\]
\[
= 5^2 + \left(-\frac{7}{2} + \frac{2}{2}\right)^2 = 25 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2
\]
\[
= 25 + \frac{25}{4} = \frac{100}{4} + \frac{25}{4} = \frac{125}{4}
\]

অর্থাৎ, বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

প্রতিস্থাপন করি:
\[
(x - 4)^2 + \left(y + \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{125}{4}
\]

বর্গফলগুলো প্রকাশ করি:

\[
x^2 - 8x + 16 + y^2 + 7y + \frac{49}{4} = \frac{125}{4}
\]


এখন, উভয় পাশে 4 দ্বারা গুণ করি:
\[
4x^2 - 32x + 64 + 4y^2 + 28y + 49 = 125
\]


অন্তর্ভুক্ত করি সমস্ত টার্ম:
\[
4x^2 + 4y^2 - 32x + 28y + (64 + 49) = 125
\]
\[
4x^2 + 4y^2 - 32x + 28y + 113 = 125
\]
\[
4x^2 + 4y^2 - 32x + 28y = 12
\]

প্রতিটি টার্মকে 4 দ্বারা ভাগ করি:

\[
x^2 + y^2 - 8x + 7y = 3
\]

অতএব, বৃত্তের সমীকরণ:
\[
\boxed{ x^2 + y^2 - 8x + 7y - 3 = 0 }
\]