যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং যে বৃত্ত 2x + √5y -1 = 0 রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ হবে ?
যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং যে বৃত্ত 2x + √5y - 1 = 0 রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ হবে ?
- 9x² + 9y² = 1 (Correct)
- x² + y² = 0 (Incorrect)
- x² + y² = 9 (Incorrect)
- x² + y² = 1 (Incorrect)
- 9x² + 9y² = 0 (Incorrect)
ব্যাখ্যা:
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে (0, 0), বৃত্তের সমীকরণ হবে x² + y² = r², যেখানে r হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তটি 2x + √5y - 1 = 0 রেখাকে স্পর্শ করে। সুতরাং, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
একটি বিন্দু (x₀, y₀) থেকে রেখা Ax + By + C = 0 এর দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
এখানে, (x₀, y₀) = (0, 0), A = 2, B = √5, C = -1।
r = |2 * 0 + √5 * 0 - 1| / √(2² + (√5)²)
r = |-1| / √(4 + 5)
r = 1 / √9
r = 1 / 3
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 1/3।
এখন, আমরা বৃত্তের সমীকরণে r এর মান বসাব:
x² + y² = (1/3)²
x² + y² = 1/9
উভয় পক্ষকে 9 দিয়ে গুণ করে পাই:
9x² + 9y² = 1
অতএব, বৃত্তের সমীকরণ 9x² + 9y² = 1।
বিকল্প পদ্ধতির বিশ্লেষণ
অন্য কোনো বিকল্প এখানে সরাসরি প্রযোজ্য নয়, কারণ সেগুলো মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হলেও, তাদের ব্যাসার্ধ প্রদত্ত রেখাটিকে স্পর্শ করার শর্ত পূরণ করে না।
সিদ্ধান্ত
যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং যে বৃত্ত 2x + √5y - 1 = 0 রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ হলো 9x² + 9y² = 1।
সঠিক উত্তর: A. 9x² + 9y² = 1
🤔 প্রশ্ন: যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং যে বৃত্ত \(2x + \sqrt{5}y -1 = 0\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ হবে?
👌 উত্তর: \(9x^{2} + 9y^{2} = 1\)
✍️ ব্যাখ্যা:
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে, তাই বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 = r^2\) হবে, যেখানে r হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। 📏
বৃত্তটি \(2x + \sqrt{5}y - 1 = 0\) রেখাটিকে স্পর্শ করে। 🤝
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে \(ax + by + c = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \( \left| \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \)। 🤓
সুতরাং, মূলবিন্দু (0, 0) থেকে \(2x + \sqrt{5}y - 1 = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব:
\(r = \left| \frac{-1}{\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2}} \right| = \left| \frac{-1}{\sqrt{4 + 5}} \right| = \left| \frac{-1}{\sqrt{9}} \right| = \frac{1}{3}\)
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{1}{3}\)। 💫
বৃত্তের সমীকরণ হবে:
\(x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(x^2 + y^2 = \frac{1}{9}\)
\(9x^2 + 9y^2 = 1\) 🎉
```