কোন শর্তে ax² + by² +2hxy+2gx+ 2fy + c = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করবে?

প্রশ্ন: কোন শর্তে \(ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করবে?

উত্তর: \(a = b \text{ এবং } h = 0\)

সমাধান:

একটি বৃত্তের সমীকরণ সাধারণত হয়:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

এটি বিকল্প আকারে লিখতে পারি:

\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]

এখানে, এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ হলে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করতে হবে:

• একই কোঅর্ডিনেটের জন্য কোঅর্ডিনেট গুণফল বা x, y এর জন্য ভিন্ন ভিন্ন কোঅর্ডিনেটের জন্য কোঅর্ডিনেটের কোঅর্ডিনেটের সমান।
• অর্থাৎ, x^2 এবং y^2 এর কোঅর্ডিনেটের কোঅর্ডিনেটের জন্য কোঅর্ডিনেটের কোঅর্ডিনেটের সমান হওয়া প্রয়োজন।

প্রকৃতপক্ষে, দ্বৈত বা xy টার্মের উপস্থিতি থাকলে এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ হবে যদি এবং কেবল যদি:

• \(a = b\)
• \(h = 0\)

অর্থাৎ, দ্বৈত টার্মটি অপ্রয়োজনীয় থাকলে বা \(h = 0\) হলে, সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণ হবে।

অতএব, শর্ত হল:

\[ \boxed{a = b \text{ এবং } h = 0} \]