(1,-3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত 2x-y-4=0 রেখাকে স্পর্শ করে।বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় 🧮

দেওয়া আছে:

• বৃত্তের কেন্দ্র: (h, k) = (1, -3) 📍
• স্পর্শক রেখার সমীকরণ: 2x - y - 4 = 0 रेखा

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমাদের ব্যাসার্ধ (r) জানতে হবে। যেহেতু বৃত্তটি 2x - y - 4 = 0 রেখাকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্বই হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ। 📏

\((x_1, y_1)\) বিন্দু থেকে \(ax + by + c = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র:

\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

এক্ষেত্রে, \(x_1 = 1\), \(y_1 = -3\), \(a = 2\), \(b = -1\), এবং \(c = -4\)। সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ:

\[ r = \frac{|2(1) - (-3) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 3 - 4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

সুতরাং, \(r = \frac{1}{\sqrt{5}}\)।

(h, k) কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

এখানে, \(h = 1\), \(k = -3\), এবং \(r = \frac{1}{\sqrt{5}}\) বসিয়ে পাই:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = \frac{1}{5} \] \[ x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = \frac{1}{5} \]

উভয় দিকে 5 দিয়ে গুণ করে:

\[ 5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 50 = 1 \] \[ 5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 49 = 0 \]

অতএব, বৃত্তটির সমীকরণ: \(5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 49 = 0\) 🎉

```