\( (9, -9) \) ও \( (-5,5) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ --

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া দুইটি বিন্দু হলো:

• \(A(9, -9)\)
• \(B(-5, 5)\)

আমরা জানি যে, এই দুটি বিন্দু দিয়ে তৈরি সংযোজক রেখাটি এই বৃত্তের কেন্দ্রের উপর দিয়ে চলে, এবং এই রেখার উপর থাকা যেকোনো বিন্দু থেকে কেন্দ্রে যত দুরত্ব থাকবে, তা সমান হবে।

অর্থাৎ, এই দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী সংযোগ রেখা (চিত্রে সংযোজক বা ডায়াগনাল লাইন) এই বৃত্তের ব্যাস।

ধাপ ১: সংযোজক রেখার মধ্যবিন্দু নির্ণয়:

মধ্যবিন্দু \(M\) এর সমীকরণ:

\[ M_x = \frac{9 + (-5)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ M_y = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] অতএব, মধ্যবিন্দু হল: \[ M(2, -2) \]

ধাপ ২: সংযোজক রেখার দিকের ধ্রুবক (slope):

দুটি বিন্দুর মধ্যে ধ্রুবক:

\[ m_{AB} = \frac{5 - (-9)}{-5 - 9} = \frac{14}{-14} = -1 \]

ধাপ ৩: সংযোজক রেখার সমীকরণ:

Line through \(A(9, -9)\) with slope \(-1\):
\( y - y_1 = m (x - x_1) \)
\[
 y + 9 = -1 (x - 9)
\]
\[
 y + 9 = -x + 9
\]
\[
 y = -x + 0
\]
অর্থাৎ, সংযোজক রেখার সমীকরণ:
\[
 y = -x
\]

ধাপ ৪: কেন্দ্রের সমীকরণ নির্ণয়:

কেন্দ্র \(O(h, k)\) এই রেখার উপর অবস্থিত, যেখানে এই রেখা দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্র। এবং, এই অবস্থায়, কেন্দ্রের থেকে দুজন বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে। অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র \(O(h, k)\) এই রেখার উপর অবস্থিত, এবং এর থেকে বিন্দু \(A(9, -9)\) ও \(B(-5, 5)\) এর দূরত্ব সমান হবে।

ধাপ ৫: দূরত্বের সমীকরণ:

\[ \text{Distance from } O(h, k) \text{ to } A(9, -9): \] \[ \sqrt{(9 - h)^2 + (-9 - k)^2} \] \[ \text{Distance from } O(h, k) \text{ to } B(-5, 5): \] \[ \sqrt{(-5 - h)^2 + (5 - k)^2} \] উপযুক্ত অবস্থানে, এই দুটি দূরত্ব সমান: \[ (9 - h)^2 + (-9 - k)^2 = (-5 - h)^2 + (5 - k)^2 \] এখানে, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (9 - h)^2 + (-9 - k)^2 = (-5 - h)^2 + (5 - k)^2 \] অতএব, \[ (81 - 18h + h^2) + (81 + 18k + k^2) = (25 + 10h + h^2) + (25 - 10k + k^2) \] দুটি পাশে থেকে সাধারণ উপাদানগুলো কেটে ফেলি: \[ 81 + 81 - 18h + 18k + h^2 + k^2 = 25 + 25 + 10h - 10k + h^2 + k^2 \] অতএব, \[ 162 - 18h + 18k = 50 + 10h - 10k \] উভয় পক্ষের সমান উপাদান সমন্বয় করি: \[ 162 - 50 = 10h + 18h - 10k - 18k \] \[ 112 = 28h - 28k \] \[ 28h - 28k = 112 \] \[ h - k = 4 \] অতএব, কেন্দ্রের সমীকরণ: \[ h - k = 4 \] এখন, যেহেতু কেন্দ্র এই রেখার উপর অবস্থিত, যেখানে রেখার সমীকরণ হলো \( y = -x \), অর্থাৎ, \(k = -h\). সুতরাং, \[ h - (-h) = 4 \] \[ h + h = 4 \] \[ 2h = 4 \] \[ h = 2 \] অতএব, \[ k = -h = -2 \] সুতরাং, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \[ O(2, -2) \]

ধাপ ৬: বৃত্তের ব্যাসের দূরত্ব নির্ণয়:

দুটি বিন্দুর দূরত্ব: \[ AB = \sqrt{(9 - (-5))^2 + (-9 - 5)^2} = \sqrt{(14)^2 + (-14)^2} = \sqrt{196 + 196} = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \] যেহেতু, এই দূরত্ব ব্যাস, তাই ব্যাসের দৈর্ঘ্য হলো: \[ d = 14\sqrt{2} \] ব্যাসের অর্ধেক (অর্থাৎ, ব্যাসের অর্ধেকের দূরত্ব বা ব্যাসের রেডিয়াস \(r\)): \[ r = \frac{d}{2} = 7\sqrt{2} \]

ধাপ ৭: বৃত্তের সমীকরণ:

সাধারণ রূপ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] অর্থাৎ, \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = (7\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 49 \times 2 = 98 \] সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\( x^2 + y^2 - 4x + 4y - 90 = 0 \)

এবং এটি আমাদের দেওয়া সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।