A circle passes through the origin and the point (4,2) and it's centre is one the line x + y = 1 the equation of the circle is:-

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় 🧐

বৃত্তটি মূলবিন্দু (0,0) এবং (4,2) বিন্দুগামী। বৃত্তের কেন্দ্র \(x + y = 1\) সরলরেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। 🤔

ব্যাখ্যা:

1. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: ধরি, বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)।
2. যেহেতু বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী: \(0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0\), সুতরাং \(c = 0\)।
3. বৃত্তটি (4,2) বিন্দুগামী: \(4^2 + 2^2 + 2g(4) + 2f(2) = 0\)
   \(16 + 4 + 8g + 4f = 0\)
   \(8g + 4f = -20\)
   \(2g + f = -5\) --- (1)
4. বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\) \(x + y = 1\) সরলরেখার উপর অবস্থিত: \(-g - f = 1\) --- (2)
5. সমীকরণ (1) ও (2) সমাধান করে পাই:
   \(2g + f = -5\)
   \(-g - f = 1\)
   যোগ করে পাই, \(g = -4\)।
6. \(g\) এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: \(-(-4) - f = 1\)
   \(4 - f = 1\)
   \(f = 3\)
7. বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 2(-4)x + 2(3)y = 0\)
   \(x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0\)

সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0\)। 🎉