\( m \) এর মান কত হলে \( (x-y+3)^2 + (mx+2)(y-1) = 0 \) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

Explanation: Hints: বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য থেকে শর্তানুযায়ী \( m \) এর মান বের করা যাবে। Solve: \((x-y+3)^2(mx+2)(y-1) = 0\) \[ \implies x^2 + y^2 + 9 - 2xy - 6y + 6x + mxy - mx + 2y - 2 = 0 \] \[ \implies x^2 + y^2 + xy(m-2) - 6y + 6x - mx + 2y + 7 = 0 \] যেহেতু সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণ, সেহেতু এতে কোনো \( xy \) থাকতে পারবে না। এজন্য \( xy \) এর সহগ 0 হতে হবে। এখানে \( xy \) এর সহগ \( m-2 \)। \[ \implies m-2 = 0 \implies m = 2 \] Ans. (D) ব্যাখ্যা: বৃত্তের সমীকরণ হতে হলে, (i) \( x \) ও \( y \) উচ্চের ঘাত 2 হতে হবে। (ii) উচ্চের সহগ সমান হতে হবে। (iii) সমীকরণে কোনো \( xy \) সম্বলিত পদ থাকতে যাবে না।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( m \) এর মান কত হলে \( (x-y+3)^2 + (mx+2)(y-1) = 0 \) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

সমাধান:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)

প্রদত্ত সমীকরণ:

\( (x-y+3)^2 + (mx+2)(y-1) = 0 \)

\( \implies x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y + mxy - mx + 2y - 2 = 0 \)

\( \implies x^2 + y^2 + (6-m)x + (-6+2)y + 7 + (m-2)xy = 0 \)

\( \implies x^2 + y^2 + (6-m)x - 4y + 7 + (m-2)xy = 0 \)

বৃত্ত হওয়ার শর্ত:

1. \( xy \) এর সহগ \( 0 \) হতে হবে।
2. \( x^2 \) ও \( y^2 \) এর সহগ সমান হতে হবে।

শর্ত ১ অনুযায়ী,

\( m - 2 = 0 \)

\( \implies m = 2 \)

যদি \( m = 2 \) হয়, তবে সমীকরণটি হবে:

\( x^2 + y^2 + (6-2)x - 4y + 7 = 0 \)

\( \implies x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0 \)

যা একটি বৃত্তের সমীকরণ। 😊

অতএব, \( m = 2 \) হলে প্রদত্ত সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। 🎉

উত্তর: 2

```