y=mx+c সরলরেখাটি x²+y²=a² বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, সরলরেখা \( y = mx + c \) এবং বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 = a^2 \) দেওয়া আছে। বৃত্তের উপর রেখাটি স্পর্শ করলে, রেখা এবং বৃত্তের মধ্যে একক সমাধান থাকবে। অর্থাৎ, রেখার সমীকরণকে বৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে যা হবে: \[ x^2 + (mx + c)^2 = a^2 \] এখন, এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ: \[ x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = a^2 \] অথবা, \[ (1 + m^2) x^2 + 2mcx + (c^2 - a^2) = 0 \] যেখানে, এই সমীকরণের ডিসক্রিমিন্যান্ট \( D \) হলে: \[ D = (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - a^2) \] বৃত্তকে স্পর্শ করার জন্য, ডিসক্রিমিন্যান্টের মান শূন্য হওয়া আবশ্যক: \[ D = 0 \] এখন, \[ (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - a^2) = 0 \] \[ 4m^2 c^2 = 4(1 + m^2)(c^2 - a^2) \] দুটি পক্ষ ভাগ করে 4 দিয়ে: \[ m^2 c^2 = (1 + m^2)(c^2 - a^2) \] বিভাজন করি: \[ m^2 c^2 = (1 + m^2) c^2 - (1 + m^2) a^2 \] এখন, \[ m^2 c^2 - (1 + m^2) c^2 = - (1 + m^2) a^2 \] বাম পাশের সমীকরণে, \[ c^2 (m^2 - (1 + m^2)) = - (1 + m^2) a^2 \] \[ c^2 (m^2 - 1 - m^2) = - (1 + m^2) a^2 \] \[ c^2 (-1) = - (1 + m^2) a^2 \] অতএব, \[ - c^2 = - (1 + m^2) a^2 \] \[ c^2 = (1 + m^2) a^2 \] অতএব, সরলরেখা \( y = mx + c \) বৃত্তকে স্পর্শ করার জন্য শর্ত হলো: \[ \boxed{c = \pm a \sqrt{1 + m^2}} \]