- tanA=1/2,tanB=1/3 হলে, A+B=pi/4
- tan(2tan^-1sqrt((1-cosx)/(1+coax)))-tanx=0
- sec^1x+cos^-1(1/x)=pi/2
i ও ii
-
প্রদান: \(\tan A = \frac{1}{2}\), \(\tan B = \frac{1}{3}\), এবং আমাদের দেখাতে হবে \(A + B = \frac{\pi}{4}\)।
সমাধান:
আমরা জানি, \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
সুতরাং,
\[ \tan(A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 \]এখানে, \(\tan(A + B) = 1\), তাই, \(A + B = \frac{\pi}{4}\).
অতএব, উত্তর: i
-
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\tan \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \right) - \tan x = 0\)
সমাধান:
প্রথমে, \(\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\) এর মান নির্ণয় করি।
আমরা জানি, \(\tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\)
অতএব,
\[ \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \tan \frac{x}{2} \]সুতরাং, সমীকরণটি হয়:
\[ \tan \left( 2 \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right) \right) - \tan x = 0 \]এখানে, \(\tan^{-1} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}\) যদি \(\frac{x}{2}\) মূল সীমার মধ্যে হয়।
তাহলে, সমীকরণটি হয়:
\[ \tan(2 \times \frac{x}{2}) - \tan x = \tan x - \tan x = 0 \]অর্থাৎ, সমীকরণ সব মানের জন্য সত্য, যেখানে \(\frac{x}{2}\) মূল সীমার মধ্যে।
অতএব, উত্তর: ii
-
প্রদত্ত: \(\sec^{-1} x + \cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\)
সমাধান:
\(\sec^{-1} x\) মানে, এমন এক কোণ \(\theta\), যেখানে \(\sec \theta = x\), এবং \(\theta \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}\)।
এবং, \(\cos^{-1} \frac{1}{x}\) মানে, এমন এক কোণ \(\phi\), যেখানে \(\cos \phi = \frac{1}{x}\), এবং \(\phi \in [0, \pi]\)।
আমরা জানি, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\), তাই \(\sec \theta = x \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{x}\).
এটা মানে, \(\cos \theta = \frac{1}{x}\) এবং \(\cos \phi = \frac{1}{x}\), সেই জন্য \(\theta = \phi\) বা \(\theta = 2\pi - \phi\), কিন্তু মূল সীমার মধ্যে, আমরা সাধারণত \(\theta = \phi\) ধরি।
অতএব, \(\sec^{-1} x + \cos^{-1} \frac{1}{x} = \theta + \theta = 2 \theta\)
এবং, \(\cos \theta = \frac{1}{x}\) থেকে, \(\theta = \cos^{-1} \frac{1}{x}\)
অতএব,
\[ \sec^{-1} x + \cos^{-1} \frac{1}{x} = 2 \cos^{-1} \frac{1}{x} \]প্রশ্ন অনুযায়ী, এটি \(\frac{\pi}{2}\) সমান, তাই:
\[ 2 \cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{4} \]এখন, \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), তাই:
\[ \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]অতএব, মান: \(x = \sqrt{2}\)।
উপসংহার: সমীকরণ সত্য, অর্থাৎ, এটি সব মানের জন্য সত্য নয়, শুধুমাত্র \(x = \sqrt{2}\) এর জন্য। তবে প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে, এই সমীকরণের জন্য কি সত্য, বলে দেখানো হয়েছে।
অতএব, এই সমীকরণের সমাধান সত্য, তাই উত্তর: i ও ii