An alarm clock is set to sound in 10h.At t=0,the clock is placed in a spaceship moving with a speed of 0.75c(relative to Earth).What distance, as determined by an Earth observer, does the spaceship travel before the alarm clock sound? 

অ্যালাম ঘড়ি এবং মহাকাশযানের সমস্যা

একটি অ্যালার্ম ঘড়ি ১০ ঘণ্টার জন্য সেট করা হয়েছে। \(t = 0\) সময়ে ঘড়িটিকে একটি মহাকাশযানে রাখা হলো, যা পৃথিবীর সাপেক্ষে 0.75c গতিতে চলছে। পৃথিবীর একজন পর্যবেক্ষকের কাছে অ্যালার্ম বাজার আগে মহাকাশযানটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান

এখানে, সময়ের প্রসারণের (time dilation) ধারণাটি ব্যবহার করতে হবে। মহাকাশযানে থাকা ঘড়ির সময় (proper time) \( \Delta t_0 = 10 \text{ hours} \)। পৃথিবীর পর্যবেক্ষকের কাছে এই সময়টা ভিন্ন হবে।

সময়ের প্রসারণের সূত্রটি হলো:

\( \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

এখানে:

• \( \Delta t \) = পৃথিবীর পর্যবেক্ষকের কাছে সময়
• \( \Delta t_0 \) = মহাকাশযানের ঘড়ির সময় = 10 hours
• \( v \) = মহাকাশযানের গতি = 0.75c
• \( c \) = আলোর গতি = \( 3 \times 10^8 \text{ m/s} \)

সুতরাং,

\( \Delta t = \frac{10}{\sqrt{1 - (0.75)^2}} = \frac{10}{\sqrt{1 - 0.5625}} = \frac{10}{\sqrt{0.4375}} \approx 15.245 \text{ hours} \)

পৃথিবীর পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে মহাকাশযানটি \( \Delta t \) সময় ধরে চলবে।

দূরত্ব \( d = v \times \Delta t \)

\( d = 0.75c \times \Delta t = 0.75 \times (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (15.245 \times 3600 \text{ s}) \)

\( d \approx 1.23 \times 10^{13} \text{ m} \)

অতএব, পৃথিবীর পর্যবেক্ষকের মতে অ্যালার্ম বাজার আগে মহাকাশযানটি প্রায় \( 1.23 \times 10^{13} \) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে। 🚀🕰️