\( 7 \sin^2\theta + 3 \cos^2\theta = 4 \) হলে \( \tan\theta \) এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণঃ

\[ 7 \sin^2\theta + 3 \cos^2\theta = 4 \]

চলুন, \(\sin^2\theta\) ও \(\cos^2\theta\) এর জন্য সাধারণ পরিচিত সূত্র ব্যবহার করি। তদ্ব্যতীত, যেহেতু \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), আমরা \(\sin^2\theta\) কে \(\cos^2\theta\) এর সাহায্যে প্রকাশ করতে পারি।

সমীকরণে, \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)। তাই,

\[ 7(1 - \cos^2\theta) + 3 \cos^2\theta = 4 \]

এটি সরলীকরণ করি:

\[ 7 - 7 \cos^2\theta + 3 \cos^2\theta = 4 \]

\[ 7 - 4 \cos^2\theta = 4 \]

এখন, সমীকরণ থেকে \(\cos^2\theta\) নির্ণয় করি:

\[ -4 \cos^2\theta = 4 - 7 \]

\[ -4 \cos^2\theta = -3 \]

অতএব,

\[ \cos^2\theta = \frac{3}{4} \]

এখন, \(\sin^2\theta\) নির্ণয় করি:

\[ \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

এখন, \(\tan^2\theta\) নির্ণয় করি:

\[ \tan^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \]

অতএব, \(\tan\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)। প্রশ্নে নির্দিষ্ট না থাকায়, সাধারণত ধনাত্মক মানটি নেওয়া হয়।

সুতরাং,

\[ \boxed{\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}} \]