যদি একটি গাড়ির গতি 2 ms^-1 বৃদ্ধি পায় এবং গতিশক্তি দ্বিগুণ হয় তবে গাড়ির প্রকৃত বেগ কত?

যদি একটি গাড়ির গতি 2 ms⁻¹ বৃদ্ধি পায় এবং গতিশক্তি দ্বিগুণ হয় তবে গাড়ির প্রকৃত বেগ কত?

1. √(2+1) ms⁻¹ (Incorrect)
2. √2 √(2+1) ms⁻¹ (Incorrect)
3. 2 (√2-1) ms⁻¹ (Incorrect)
4. 2 (√2 + 1) ms⁻¹ (Correct)

গতিশক্তি (Kinetic Energy)

গতিশক্তি হলো কোনো গতিশীল বস্তুর গতির কারণে তার মধ্যে নিহিত শক্তি। গতিশক্তির সূত্র হলো:

E = (1/2)mv²

যেখানে:

• E হলো গতিশক্তি
• m হলো বস্তুর ভর
• v হলো বস্তুর বেগ

প্রদত্ত তথ্য

প্রশ্নে যা দেওয়া আছে:

• প্রাথমিক বেগ (v₁) = v (ধরে নিলাম)
• চূড়ান্ত বেগ (v₂) = v + 2 ms⁻¹
• চূড়ান্ত গতিশক্তি (E₂) = 2 × প্রাথমিক গতিশক্তি (E₁)

আমাদের প্রকৃত বেগ (v) নির্ণয় করতে হবে।

সমীকরণ গঠন

প্রাথমিক গতিশক্তি:

E₁ = (1/2)mv²

চূড়ান্ত গতিশক্তি:

E₂ = (1/2)m(v + 2)²

প্রশ্নানুসারে, E₂ = 2E₁। সুতরাং:

(1/2)m(v + 2)² = 2 × (1/2)mv²

(v + 2)² = 2v²

সমীকরণ সমাধান

এখন আমরা সমীকরণটি সমাধান করে v এর মান বের করব:

v² + 4v + 4 = 2v²

2v² - v² - 4v - 4 = 0

v² - 4v - 4 = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে v এর মান বের করতে পারি:

v = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

এখানে, a = 1, b = -4, c = -4।

v = [4 ± √((-4)² - 4 × 1 × (-4))] / 2 × 1

v = [4 ± √(16 + 16)] / 2

v = [4 ± √32] / 2

v = [4 ± √(16 × 2)] / 2

v = [4 ± 4√2] / 2

v = 2 ± 2√2

v = 2 (1 ± √2)

যেহেতু বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না (প্রকৃত বেগ), আমরা ধনাত্মক মানটি নেব:

v = 2 (1 + √2)

v = 2 (√2 + 1) ms⁻¹

বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:

1. √(2+1) ms⁻¹ (Incorrect)
2. √2 √(2+1) ms⁻¹ (Incorrect)
3. 2 (√2-1) ms⁻¹ (Incorrect)
4. 2 (√2 + 1) ms⁻¹ (Correct)

সিদ্ধান্ত

উপরের হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, গাড়ির প্রকৃত বেগ 2 (√2 + 1) ms⁻¹।

টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন

বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:

গণনা

E₂ = 2E₁

(1/2)m(v + 2)² = 2 × (1/2)mv²

(v + 2)² = 2v²

v² - 4v - 4 = 0

v = 2 (√2 + 1) ms⁻¹

সঠিক উত্তর: D. 2 (√2 + 1) ms⁻¹

গাড়ির প্রকৃত বেগ নির্ণয়

ধরি, গাড়ির আদি বেগ \(v\) এবং ভর \(m\)।

সুতরাং, গাড়ির আদি গতিশক্তি, \(KE_1 = \frac{1}{2}mv^2\)

গতি 2 ms^-1 বৃদ্ধি পাওয়ার পর গাড়ির শেষ বেগ \((v + 2)\)

সুতরাং, গাড়ির শেষ গতিশক্তি, \(KE_2 = \frac{1}{2}m(v + 2)^2\)

প্রশ্নানুসারে, শেষ গতিশক্তি আদি গতিশক্তির দ্বিগুণ। অর্থাৎ,

\(KE_2 = 2 \times KE_1\)

\(\frac{1}{2}m(v + 2)^2 = 2 \times \frac{1}{2}mv^2\)

\((v + 2)^2 = 2v^2\)

\(v^2 + 4v + 4 = 2v^2\)

\(v^2 - 4v - 4 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। \(v\) এর মান বের করার জন্য দ্বিঘাত সূত্রের প্রয়োগ:

\(v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

এখানে, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -4\)

\(v = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1}\)

\(v = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}\)

\(v = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2}\)

\(v = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2}\)

\(v = 2 \pm 2\sqrt{2}\)

যেহেতু বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই,

\(v = 2 + 2\sqrt{2}\)

\(v = 2(1 + \sqrt{2})\) ms^-1

অতএব, গাড়ির প্রকৃত বেগ \(2(\sqrt{2} + 1)\) ms^-1। 🎉