f(x)=sinx এবং g(x)=cosx

 int{f(x)}^2g(x)dx =?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \sin x\), \(g(x) = \cos x\)। ইনটিগ্রাল: \[ \int f(x)^2 g(x) \, dx = \int \sin^2 x \cos x \, dx \] সমাধান: প্রথমে, আমরা \(\sin^2 x\) কে পরিবর্তন করতে পারি \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), কিন্তু এখানে সরাসরি substitution ব্যবহার করাই সুবিধাজনক। আমরা মনে করি যে, \(u = \sin x\), তাহলে: \[ du = \cos x \, dx \] এবং, যখন \(u = \sin x\), তখন: \[ \sin^2 x \cos x \, dx = u^2 \, du \] তাই, \[ \int \sin^2 x \cos x \, dx = \int u^2 \, du \] এখন, এই ইন্টিগ্রালটি সহজ: \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C \] অতএব, \[ \int \sin^2 x \cos x \, dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C \] তাই, সঠিক উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\sin^3 x}{3} + C} \] **তথ্য:** প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে, "sin^3x/2+c", তবে সঠিক সমাধান অনুযায়ী, তা \(\frac{\sin^3 x}{3} + C\)।