sinx=(2t)/(1-t^2)এবংcosy=(1-t^2)/(1+t^2) হলে dy/dx এর মান কত?
MBSTUUnit-Cউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণপরামিতিক সমীকরণের অন্তরজ (Topic Practice)MBSTU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
মান বের করা যাবে না
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin x = \frac{2t}{1 - t^2}\) এবং \(\cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\) হলে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান কত?
সমাধান:
প্রথমে, \(\sin x = \frac{2t}{1 - t^2}\) থেকে \(x\) এর সাথে \(t\) এর সম্পর্ক নির্ণয় করি।
তাহলে, \(\sin x = \frac{2t}{1 - t^2}\)
এখন, \(t\) এর উপর থেকে \(x\) নির্ণয় করতে পারি যদি \(\sin x\) এর ডেরিভেট নেওয়া হয়।
অপরদিকে, \(\cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
এটি পরিচিত ট্যানজেন্টের দ্বিগুণের সূত্রের সাথে সম্পর্কিত:
\(\cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
তাহলে, \(\tan y = t\)
কারণ:
\(\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}\)
এবং \(\sin y = \frac{2t}{1 + t^2}\) এবং \(\cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
অর্থাৎ, \(\tan y = t\)
সুতরাং, \(y = \arctan t\)
এবং \(dy/dt = 1 / (1 + t^2)\)
এখন, \(x\) এর জন্য:
\(\sin x = \frac{2t}{1 - t^2}\)
অর্থাৎ, \(x = \arcsin \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right)\)
তাহলে,
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right)^2}} \times \frac{d}{dt} \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right)
\]
প্রথমে, \(\frac{d}{dt} \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right)\):
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right) = \frac{(2)(1 - t^2) - 2t (-2t)}{(1 - t^2)^2} = \frac{2(1 - t^2) + 4t^2}{(1 - t^2)^2} = \frac{2 - 2t^2 + 4t^2}{(1 - t^2)^2} = \frac{2 + 2t^2}{(1 - t^2)^2} = \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}
\]
আবার,
\[
\sqrt{1 - \left( \frac{2t}{1 - t^2} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1 - t^2)^2}} = \sqrt{\frac{(1 - t^2)^2 - 4t^2}{(1 - t^2)^2}} = \frac{\sqrt{(1 - t^2)^2 - 4t^2}}{|1 - t^2|}
\]
নোট: \\(\sqrt{(1 - t^2)^2 - 4t^2} = \sqrt{1 - 2t^2 + t^4 - 4t^2} = \sqrt{1 - 6t^2 + t^4}\)
সুতরাং,
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}}{\frac{\sqrt{1 - 6t^2 + t^4}}{|1 - t^2|}} = \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2} \times \frac{|1 - t^2|}{\sqrt{1 - 6t^2 + t^4}}
\]
এবং,
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1 + t^2}
\]
অতএব,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{1}{1 + t^2}}{\frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2} \times \frac{|1 - t^2|}{\sqrt{1 - 6t^2 + t^4}}}
\]
= \(\displaystyle \frac{1}{1 + t^2} \times \frac{\sqrt{1 - 6t^2 + t^4}}{2(1 + t^2) |1 - t^2|} \)
= \(\displaystyle \frac{\sqrt{1 - 6t^2 + t^4}}{2(1 + t^2)^2 |1 - t^2|}\)
---
অতএব, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্দিষ্ট করে বলা সম্ভব নয় কারণ এটি \(t\)-এর উপর নির্ভর করে, এবং \(t\) এর মান নির্দিষ্ট না থাকায় মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
সুতরাং, উত্তর: **"মান বের করা যাবে না"**।