\( 3y^2=5x \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \( 3y^2=5x \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?

উত্তর:

উপকেন্দ্রের স্থানাংক \( \left( \frac{5}{12}, 0 \right) \)

সমাধান:

প্রথমে, পরাবৃত্তের মান নির্ণয় করি।

1. পরাবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \[ 3y^2 = 5x \] এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তি, যেখানে কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে হবে।
2. পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ: \[ (y - k)^2 = 4p (x - h) \] এখানে, কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ফোকাস থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(p\)।
3. আমাদের সমীকরণে, যদি আমরা \( y^2 \) এর সঙ্গে তুলনা করি: \[ y^2 = \frac{5}{3}x \] তাহলে, এটি সমান্য রূপে লেখা যায়: \[ y^2 = \frac{5}{3} x \] এবং এই সমীকরণ তুলনা করলে দেখা যায়: \[ (y - 0)^2 = 4p (x - 0) \] অর্থাৎ, \[ 4p = \frac{5}{3} \Rightarrow p = \frac{5}{12} \] <
4. এখন, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক \((h, k)\) যেখানে: \[ h = 0, \quad k = 0 \] অর্থাৎ, কেন্দ্র মূলত অক্ষের অক্ষাংশে অবস্থিত।
5. উপকেন্দ্রের স্থানাংক: উপকেন্দ্রের স্থানাংক = \[ \left( h + \frac{p}{2}, k \right) \] যেখানে, \( p = \frac{5}{12} \), তাই: \[ \left( 0 + \frac{5/12}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5}{24}, 0 \right) \] তবে, চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে, মূল সমাধানে কিছু পরিবর্তন এসেছে। আসুন, আবার যাচাই করি।

প্রথমেই ভুল থাকলে, মূল সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় করি।

সঠিক পদ্ধতি:

1. পরাবৃত্তের সমীকরণ: \[ 3 y^2 = 5 x \] 2. মূল সমীকরণের জন্য, এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তি। এর কেন্দ্র \((h, k)\) হল সমীকরণের অপ্রকাশিত।
2. আমরা জানি, এই ধরনের পরাবৃত্তির সরাসরি সমীকরণ: \[ (y - k)^2 = 4p (x - h) \] এবং, যেহেতু মূল সমীকরণে \(k=0\), এবং \(h=0\), তাহলে: \[ y^2 = 4p x \] তাহলে, \[ 4p = \frac{5}{3} \Rightarrow p = \frac{5}{12} \] 3. উপকেন্দ্রের স্থানাংক: \[ \left( h + \frac{p}{2}, k \right) = \left( 0 + \frac{5/12}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5}{24}, 0 \right) \] তবে, প্রশ্নে উত্তরে উল্লেখিত স্থানাংক \( \left( \frac{5}{12}, 0 \right) \)। এটি সম্ভবত একটি ভুল বা সংশোধিত উত্তর।

   অতএব, সঠিক উপকেন্দ্রের স্থানাংক হলো:

   \( \boxed{\left( \frac{5}{24}, 0 \right)} \)

   উপসংহার:

   উপকেন্দ্রের স্থানাংক: \( \left( \frac{5}{24}, 0 \right) \)