Another Explanation (5):
সমাধান:
দিয়েছে:
- শীর্ষবিন্দু A \((-3, -5)\)
- শীর্ষবিন্দু C \((3, 5)\)
- B শীর্ষবিন্দু y = 6 রেখার ওপর অবস্থিত
- ABCD রম্বসের শীর্ষবিন্দুসমূহ A, B, C, D
আমরা জানি:
- রম্বসের প্রতিটি কোণে দুটি সমদ্রাঘিমা হয়, এবং বিপরীত কোণ সমদ্রাঘিমা হয়।
- রম্বসের বিপরীত কোণে সমদ্রাঘিমা হয়; অর্থাৎ, A ও C বিপরীত কোণে এবং B ও D বিপরীত কোণে।
- রম্বসের প্রতিটি পার্শ্ব সমান্তরাল ও সমদৈর্ঘ্য।
প্রথমে, B এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
B শীর্ষবিন্দু y = 6 রেখার ওপর, অর্থাৎ B এর স্থানাঙ্ক \(\left(x_b, 6\right)\)
আমরা জানি:
- A(-3, -5)
- C(3, 5)
রম্বসের diagonals সমবাহু ও সমদ্রাঘিমা হয়। তাই, diagonals এর কেন্দ্রাঙ্ক সমান ও diagonals সমান্তরাল।
অর্থাৎ, diagonals এর কেন্দ্রাঙ্ক হবে:
\[
\text{Center} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-3 + 3}{2}, \frac{-5 + 5}{2}\right) = (0, 0)
\]
এবং, diagonals এর অক্ষাংশ ও অক্ষাংশের মধ্যবিন্দু হল কেন্দ্রাঙ্ক।
এখন, diagonals এর প্রত্যেকের মধ্যবিন্দু একই, অর্থাৎ:
- \(A(-3, -5)\) থেকে \(C(3, 5)\) diagonals।
অতএব, diagonals এর মধ্যবিন্দু হলো \((0, 0)\).
তাই, B এবং D diagonals এর অপর পাশে থাকা শীর্ষবিন্দু।
আমরা জানি:
- B \(\left(x_b, 6\right)\) এবং D এর স্থানাঙ্ক \(\left(x_d, y_d\right)\),
- diagonals এর কেন্দ্রাঙ্ক \((0, 0)\), অর্থাৎ:
\[
\frac{x_b + x_d}{2} = 0 \Rightarrow x_d = -x_b
\]
\[
\frac{6 + y_d}{2} = 0 \Rightarrow y_d = -6
\]
এখন, B এর স্থানাঙ্ক \(\left(x_b, 6\right)\),
তাহলে, D এর স্থানাঙ্ক হবে:
\[
\left(-x_b, -6\right)
\]
অতএব, আমরা জানতে চাই \(x_b\) এর মান।
রম্বসের একটি পার্শ্বের সমদৈর্ঘ্য ও সমান্তরালতা ব্যবহার করে:
অর্থাৎ, AB ও BC সমদ্বৈত্য ও সমান্তরাল হওয়া উচিত।
প্রথমে, AB এর দৈর্ঘ্য ও কোঅর্ডিনেট:
\[
AB: \text{from} \ (-3, -5) \ \text{to} \ (x_b, 6)
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{dx}_1 = x_b - (-3) = x_b + 3
\]
\[
\text{dy}_1 = 6 - (-5) = 11
\]
অতএব, AB এর দৈর্ঘ্য:
\[
AB = \sqrt{(x_b + 3)^2 + 11^2}
\]
পরবর্তী, BC এর স্থানাঙ্ক:
\[
B = (x_b, 6), \quad C = (3, 5)
\]
অতএব,
\[
\text{dx}_2 = 3 - x_b
\]
\[
\text{dy}_2 = 5 - 6 = -1
\]
BC এর দৈর্ঘ্য:
\[
BC = \sqrt{(3 - x_b)^2 + (-1)^2}
\]
রম্বসের পার্শ্বসমূহ সমদ্বৈত্য ও সমান হওয়া দরকার, অতএব:
\[
AB = BC
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{(x_b + 3)^2 + 11^2} = \sqrt{(3 - x_b)^2 + 1^2}
\]
দুটি পাশের বর্গমূল উভয়কে বর্গ করে বাদ দিলে:
\[
(x_b + 3)^2 + 121 = (3 - x_b)^2 + 1
\]
বিস্তার করি:
\[
(x_b + 3)^2 = x_b^2 + 6x_b + 9
\]
\[
(3 - x_b)^2 = 9 - 6x_b + x_b^2
\]
সুতরাং,
\[
x_b^2 + 6x_b + 9 + 121 = 9 - 6x_b + x_b^2 + 1
\]
দুটি পাশের \(x_b^2\) কেটে গেলে:
\[
6x_b + 130 = -6x_b + 10
\]
এখন, সমীকরণ সমাধান করি:
\[
6x_b + 6x_b = 10 - 130
\]
\[
12x_b = -120
\]
\[
x_b = -10
\]
তাহলে,
\[
x_d = -x_b = 10
\]
অতএব, D এর স্থানাঙ্ক:
\[
\left(10, -6\right)
\]
### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\boxed{
(10, -6)
}
\]
