int((tanx+tanx^3)dx)/(e^(sec^2x)+e^-(sec^2x))=? 

প্রশ্ন: ∫(tanx + tan³x) dx / (e^sec2x + e^-sec2x) = ?

সমাধান:

আমরা ???ানি, sec²x = 1 + tan²x

সুতরাং, tanx + tan³x = tanx(1 + tan²x) = tanx sec²x

তাহলে, ∫(tanx sec²x) dx / (e^sec2x + e^-sec2x)

ধরি, sec²x = t সুতরাং, 2sec²x tanx dx = dt Or, tanx sec²x dx = dt/2

তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে:

∫ (dt/2) / (e^t + e^-t) = 1/2 ∫ dt / (e^t + 1/e^t) = 1/2 ∫ e^t dt / (e^2t + 1)

ধরি, u = e^t, সুতরাং du = e^t dt

তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে:

1/2 ∫ du / (u² + 1) = 1/2 tan^-1(u) + c

u এর মান বসিয়ে পাই:

1/2 tan^-1(e^t) + c

t এর মান বসিয়ে পাই:

1/2 tan^-1(e^sec2x) + c 🎉

সুতরাং, ∫(tanx + tan³x) dx / (e^sec2x + e^-sec2x) = 1/2 tan^-1(e^sec2x) + c 😊