y²=4ax এবং x²=4ay দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো-

সমাধান:

প্রশ্নঃ

y² = 4ax এবং x² = 4ay দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, দুইটি সমীকরণের বিন্যাস:

• y² = 4ax ...(1)
• x² = 4ay ...(2)

উভয় সমীকরণ থেকে x ও y এর মান নির্ণয় করা যাক।

একটি বিন্যাসে সমাধান:

সমীকরণ (1) থেকে: y² = 4ax → x = \(\frac{y^2}{4a}\)

এখন, সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে দিই:

\[ \left(\frac{y^2}{4a}\right)^2 = 4a y \]

এটি সরলীকরণ করি:

\[ \frac{y^4}{16 a^2} = 4a y \]

এখন, উভয় পাশে থেকে y এর মান বাদ দিতে পারি, তবে প্রথমে y ≠ 0 বিবেচনা করি।

y ≠ 0 হলে, উভয় পাশে y দিয়ে ভাগ করি:

\[ \frac{y^3}{16 a^2} = 4a \]

এখানে y³ এর মান পাওয়া যায়:

\[ y^3 = 64 a^3 \]

অতএব:

\[ y = \sqrt[3]{64 a^3} = 4a \]

y এর মান পেয়ে গেলে, x এর মান নির্ণয় করি:

x = \(\frac{(4a)^2}{4a} = \frac{16a^2}{4a} = 4a\)

সীমাবদ্ধ বিন্দু:

y = 4a, x = 4a

অন্য সীমাবদ্ধ বিন্দু:

যেহেতু y² = 4ax ও x² = 4ay, অন্য সমাধানও পাওয়া যায়।

যদি y = 0, তাহলে সমীকরণ (1):

0 = 4a x → x = 0

সমীকরণ (2):

x² = 4a y = 0 → x = 0

অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ বিন্দু হল (0,0)।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

উপরের সমাধান অনুযায়ী, ক্ষেত্রটি y = 4a ও x = 4a এর মধ্যে সীমাবদ্ধ, এবং (0,0) থেকে এই বিন্দুগুলির মধ্যে রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ।

ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমরা y এর মান (y) এর উপর নির্ভরশীলভাবে x এর মান দেখব।

দুটি সমীকরণ থেকে বর্গমূল ব্যবহার করে বিন্দুগুলির সীমা নির্ণয় করি।

সমাধান অনুযায়ী, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

\[ A = \int_{x=0}^{4a} y\, dx \]

প্রথম, y এর মান নির্ণয় করি:

y² = 4ax → y = \pm 2 \sqrt{ax}

এখানে, x এর উপর সীমা 0 থেকে 4a।

ক্ষেত্রফল হিসাবের জন্য, উভয় দিক বিবেচনা করে, ক্ষেত্রের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:

1. প্রতিটি x এর জন্য y এর মান দুইটি: y = 2\(\sqrt{ax}\) এবং y = -2\(\sqrt{ax}\)।
2. ক্ষেত্রফল হল এই দুই রেখার উপরে অবস্থিত এলাকা যা x সীমার মধ্যে।

ক্ষেত্রফল মোট:

\[ A = 2 \times \int_{0}^{4a} 2 \sqrt{ax}\, dx \] (কারণ উপরে এবং নিচে y এর জন্য দুটি রেখা থাকায়, এবং ক্ষেত্রফল দিচ্ছে দুইটি অংশ)

সমাধান শুরু:

এখানে, y এর মান:

\[ y = 2 \sqrt{ax} \]

ক্ষেত্রফল:

\[ A = 2 \times \int_{0}^{4a} 2 \sqrt{ax}\, dx = 4 \int_{0}^{4a} \sqrt{ax}\, dx \] এখানে, \(\sqrt{ax} = \sqrt{a} \sqrt{x}\), তাই:

\[ A = 4 \sqrt{a} \int_{0}^{4a} \sqrt{x}\, dx \] \(\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2}{3} x^{3/2}\), অতএব:

\[ A = 4 \sqrt{a} \times \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{4a} \] মূল্যাঙ্ক প্রদান করি:

\[ A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \times (4a)^{3/2} \] অতএব, \((4a)^{3/2} = 4^{3/2} \times a^{3/2} = (2^2)^{3/2} \times a^{3/2} = 2^{3} \times a^{3/2} = 8 a^{3/2}\)

\[ A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \times 8 a^{3/2} = \frac{8 \times 8}{3} \times \sqrt{a} \times a^{3/2} \] \[ A = \frac{64}{3} \times a^{1/2} \times a^{3/2} = \frac{64}{3} \times a^{(1/2 + 3/2)} = \frac{64}{3} \times a^{2} \] অতএব, ক্ষেত্রফল হলো:

\[ A = \frac{64}{3} a^{2} \] প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, এটি সমান:

\( \boxed{\frac{16 a^{2}}{3}} \)

তাই, ক্ষেত্রফল = \( \frac{16 a^{2}}{3} \)