y2=16x এবং y=4x দ্বারা বেষ্টিত আবদ্ধ ক্ষেত্রফল হবে-
দেওয়া আছে, \(y^2 = 16x\) এবং \(y = 4x\)। এই দুইটি সমীকরণ দ্বারা বেষ্টিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।
\(y^2 = 16x\) এবং \(y = 4x\) => \((4x)^2 = 16x\)
\(16x^2 = 16x\)
\(16x^2 - 16x = 0\)
\(16x(x - 1) = 0\)
সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 1\)
যখন \(x = 0\), \(y = 4(0) = 0\)
যখন \(x = 1\), \(y = 4(1) = 4\)
সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((1, 4)\)।
এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি।
ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{1} (\sqrt{16x} - 4x) dx\)
\(A = \int_{0}^{1} (4\sqrt{x} - 4x) dx\)
\(A = 4 \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x) dx\)
\(A = 4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}\)
\(A = 4 \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}\)
\(A = 4 \left[ \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(1)^2 - (0) \right]\)
\(A = 4 \left[ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right]\)
\(A = 4 \left[ \frac{4 - 3}{6} \right]\)
\(A = 4 \left[ \frac{1}{6} \right]\)
\(A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রফল \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক। 🎉
```