বাস্তব সংখ্যার \( S = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} \) উপসেটটির গরিষ্ঠ নিম্নসীমা ও লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা কোনগুলো হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের সেটটি হলো: \[ S = \left\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} \] এখানে, \(\mathbb{N}\) মানে প্রাকৃতিক সংখ্যা \(1, 2, 3, \dots\).

ধাপ ১: লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা (Supremum)

- যেহেতু \(n \in \mathbb{N}\), তাহলে \(\frac{1}{n}\) এর মান সর্বদা ধনাত্মক। - সর্বোচ্চ মানটি পাওয়া যাবে যখন \(n\) সবচেয়ে ছোট, অর্থাৎ \(n=1\), তখন: \[ \frac{1}{1} = 1 \] - অতএব, সেটের সর্বোচ্চ মান বা লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা হলো: \[ \sup S = 1 \]

ধাপ ২: গরিষ্ঠ নিম্নসীমা (Infimum)

- \(\frac{1}{n}\) এর মান ধীরে ধীরে 0 এর দিকে যায় যখন \(n \to \infty\). - সেটের কোন উপাদানই শূন্য নয়, কিন্তু শূন্যের কাছাকাছি যেতে পারে। - তাই, শূন্য সেটের সব উপাদানের নিম্নসীমা হলো 0, এবং সেটের সব উপাদানের নিচে 0 থেকে ছোট মান নেই। - অতএব, সেটের গরিষ্ঠ নিম্নসীমা হলো: \[ \inf S = 0 \] সারাংশ: \[ \boxed{ \text{গরিষ্ঠ নিম্নসীমা} = 0, \quad \text{লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা} = 1 } \]

উত্তর:

0, 1