নিচের কোনটি সঠিক ?  

Ans: B

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক ?

উত্তর: \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \)

ব্যাখ্যা: 🤔

\( \ln(1+x) \) এর ম্যাকলরিন ধারা (Maclaurin series) ব্যবহার করে আমরা এই উত্তরটি পাই।

ম্যাকলরিন ধারাটি হলো: \[ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots \]

এখানে, \( f(x) = \ln(1+x) \) 🤓

এখন, আমরা \( f(x) \) এর কয়েকটি ডেরিভেটিভ (derivative) বের করি:

• \( f(x) = \ln(1+x) \), \( f(0) = \ln(1+0) = 0 \)
• \( f'(x) = \frac{1}{1+x} \), \( f'(0) = 1 \)
• \( f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \), \( f''(0) = -1 \)
• \( f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \), \( f'''(0) = 2 \)
• \( f''''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4} \), \( f''''(0) = -6 \)

এই মানগুলো ম্যাকলরিন ধারায় বসালে পাই: 🥳 \[ \ln(1+x) = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \dots \] \[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \]

সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক। 🎉